Question

В первенстве по шахматам участвуют пять команд. Каждые две команды должны сыграть между собой один матч. Докажите, что в любой момент состязаний имеются две команды, сыгравшие одинаковое количество матчей.

Answer 1

Предположим, что это не так, и на какой-то момент в турнире все команды сыграли разное количество матчей.

Пусть первая команда сыграла 4 матча, вторая - 3 матча, третья - 2 матча, четвертая - 1 матч, пятая - 0 матчей.

Теперь рассмотрим сумму количества матчей, сыгранных каждой командой: 4 + 3 + 2 + 1 + 0 = 10.

Так как каждая пара команд должна сыграть один матч между собой, общее количество матчей должно быть равно C(5, 2) = 10, где C(5, 2) - число сочетаний из 5 по 2.

Получаем противоречие: 10 ≠ 10.

Следовательно, предположение было неверным, и в любой момент состязаний обязательно найдутся две команды, сыгравшие одинаковое количество матчей.