Question

20 баллов (x²+3x)²+4(x+1.5)²-6 = 0

Answer 1

Давайте решим уравнение:

\[(x^2 + 3x)^2 + 4(x + 1.5)^2 - 6 = 0\]

Начнем с раскрытия скобок:

\[(x^2 + 3x)^2 + 4(x + 1.5)^2 - 6 = (x^2 + 3x)(x^2 + 3x) + 4(x + 1.5)(x + 1.5) - 6\]

Раскроем скобки:

\[= x^4 + 6x^3 + 9x^2 + 4x^2 + 12x + 9 - 6\]

Сгруппируем подобные члены:

\[= x^4 + 6x^3 + 13x^2 + 12x + 3\]

Теперь уравнение принимает вид:

\[x^4 + 6x^3 + 13x^2 + 12x + 3 - 6 = 0\]

Упростим его:

\[x^4 + 6x^3 + 13x^2 + 12x - 3 = 0\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \(x\). Для его решения мы можем использовать различные методы, например, метод выделения полного квадрата или метод дискриминанта.

Так как это квадратное уравнение, давайте представим его в виде \((x^2 + bx + c)^2\):

\[x^4 + 6x^3 + 13x^2 + 12x - 3 = (x^2 + bx + c)^2\]

Раскроем скобки:

\[x^4 + 2bx^3 + (b^2 + 2c)x^2 + 2bcx + c^2\]

Сравним коэффициенты при одинаковых степенях \(x\):

\[2b = 6 \implies b = 3\]

\[b^2 + 2c = 13 \implies 9 + 2c = 13 \implies 2c = 4 \implies c = 2\]

Теперь мы можем записать выражение в виде полного квадрата:

\[(x^2 + 3x + 2)^2\]

Теперь уравнение принимает вид:

\[(x^2 + 3x + 2)^2 - 3 = 0\]

Решим это уравнение:

\[(x^2 + 3x + 2)^2 = 3\]

\[x^2 + 3x + 2 = \pm\sqrt{3}\]

Теперь у нас есть два квадратных уравнения:

\[x^2 + 3x + 2 - \sqrt{3} = 0\] \[x^2 + 3x + 2 + \sqrt{3} = 0\]

Решим их с помощью квадратного уравнения или других методов. Полученные значения \(x\) будут решениями исходного уравнения.