Question

Найти наименьшее значение функции y =2x^2+4 x+ 3 на промежутке [-4;1]

Answer 1

Чтобы найти наименьшее значение функции \(y = 2x^2 + 4x + 3\) на заданном промежутке \([-4; 1]\), следует выполнить несколько шагов.

1. Найти критические точки: Критические точки функции находятся, когда её производная равна нулю или не существует. Для этого возьмем производную функции и приравняем её к нулю: \[ y' = 4x + 4 = 0 \]

Решим уравнение: \[ 4x + 4 = 0 \] \[ 4x = -4 \] \[ x = -1 \]

Таким образом, критическая точка \(x = -1\).

2. Проверить краевые точки: Посмотрим, что происходит на концах заданного промежутка \([-4; 1]\), то есть при \(x = -4\) и \(x = 1\).

Подставим \(x = -4\): \[ y(-4) = 2(-4)^2 + 4(-4) + 3 \]

Подставим \(x = 1\): \[ y(1) = 2(1)^2 + 4(1) + 3 \]

3. Сравнить значения: Сравним найденные значения в критической точке и на концах промежутка, чтобы определить, где функция принимает наименьшее значение.

- \( y(-4) \) - \( y(-1) \) - \( y(1) \)

4. Выбрать минимальное значение: Определите, при каком значении \(x\) функция принимает минимальное значение \(y\).

Таким образом, следует провести вычисления для каждой из точек и выбрать ту, где значение функции \(y\) минимально на заданном промежутке.