Question

СРОЧНООООО!!!!!!!! Що є графіком функції: 1) f(x)=1/4x²+2 2)f(x)=1/3x²-4

Answer 1

Звісно, давайте розглянемо графіки функцій:

1) \( f(x) = \frac{1}{4}x^2 + 2 \)

2) \( f(x) = \frac{1}{3}x^2 - 4 \)

Щоб намалювати графік функції, можемо використовувати кілька підходів:

1) Знайдемо вершину параболи: Функція \( f(x) = ax^2 + bx + c \) має вершину у точці \((-b/2a, f(-b/2a))\). Таким чином, для першої функції вершина буде у точці \((-2 \cdot \frac{1}{4}, f(-2 \cdot \frac{1}{4}))\).

\[ \text{Вершина першої функції:} \quad \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{8} + 2\right) \]

Далі, можна використовувати цю вершину та напрямок відкриття параболи для малювання графіка.

2) Знайдемо вершину для другої функції: Аналогічно, вершина другої функції буде у точці \((-2 \cdot \frac{1}{3}, f(-2 \cdot \frac{1}{3}))\).

\[ \text{Вершина другої функції:} \quad \left(-\frac{2}{3}, \frac{4}{9} - 4\right) \]

Далі, так само, використовуємо вершину та напрямок відкриття параболи для побудови графіка.

Тепер давайте спробуємо намалювати ці графіки. Оберемо деякі значення x та підставимо їх у функції для знаходження відповідних значень y.

Для першої функції: \[ f(x) = \frac{1}{4}x^2 + 2 \]

Підставимо, наприклад, x = -2, -1, 0, 1, 2:

\[ f(-2) = \frac{1}{4}(-2)^2 + 2 = \frac{1}{4} \cdot 4 + 2 = 3 \] \[ f(-1) = \frac{1}{4}(-1)^2 + 2 = \frac{1}{4} + 2 = \frac{9}{4} \] \[ f(0) = \frac{1}{4}(0)^2 + 2 = 2 \] \[ f(1) = \frac{1}{4}(1)^2 + 2 = \frac{1}{4} + 2 = \frac{9}{4} \] \[ f(2) = \frac{1}{4}(2)^2 + 2 = \frac{1}{4} \cdot 4 + 2 = 3 \]

Отже, ми маємо кілька точок на графіку: (-2, 3), (-1, 9/4), (0, 2), (1, 9/4), (2, 3).

Для другої функції: \[ f(x) = \frac{1}{3}x^2 - 4 \]

Підставимо ті ж значення x:

\[ f(-2) = \frac{1}{3}(-2)^2 - 4 = \frac{1}{3} \cdot 4 - 4 = -\frac{8}{3} \] \[ f(-1) = \frac{1}{3}(-1)^2 - 4 = \frac{1}{3} - 4 = -\frac{11}{3} \] \[ f(0) = \frac{1}{3}(0)^2 - 4 = -4 \] \[ f(1) = \frac{1}{3}(1)^2 - 4 = \frac{1}{3} - 4 = -\frac{11}{3} \] \[ f(2) = \frac{1}{3}(2)^2 - 4 = \frac{1}{3} \cdot 4 - 4 = -\frac{8}{3} \]

Отже, ми маємо кілька точок для другої функції: (-2, -8/3), (-1, -11/3), (0, -4), (1, -11/3), (2, -8/3).

Тепер можна намалювати графіки цих функцій на координатному просторі, використовуючи ці точки та інші, які ви можете обрати. Намалювання може бути зручно виконати за допомогою графічних програм або онлайн калькуляторів функцій.

Answer 2

Щоб детально відповісти на запитання про графіки функцій, розглянемо кожну з них по черзі.

1) f(x) = (1/4)x² + 2:

Ця функція є квадратичною функцією зі зміщенням вгору на 2 одиниці. Форма квадратичної функції залежить від знаку коефіцієнта при квадратичному члені (x²). У даному випадку, коефіцієнт є додатнім (1/4), що означає, що графік буде відкритим вгору.

Знайдемо вершину графіка, використовуючи формулу: x = -b / (2a), де a та b - коефіцієнти функції перед x² та x відповідно. У нашому випадку, a = 1/4 та b = 0, тому вершина графіка буде мати координати (0, 2).

Також, відомо, що графік квадратичної функції є симетричним відносно вершини. З цього випливає, що якщо ми знаємо одну точку на графіку, можемо отримати її симетричну точку відносно вершини.

Наприклад, якщо ми підставимо x = 1 в нашу функцію, отримаємо: f(1) = (1/4)(1)² + 2 = 1/4 + 2 = 2.25. Це означає, що точка (1, 2.25) належить графіку функції. Оскільки графік симетричний, то точка (-1, 2.25) також належить графіку.

Тепер, ми можемо побудувати графік, використовуючи ці дані. Ось декілька точок, які ми обчислили:

- Вершина: (0, 2) - Точка (1, 2.25) - Точка (-1, 2.25)

З'єднавши ці точки, ми отримаємо графік функції f(x) = (1/4)x² + 2. Він буде мати форму параболи, відкритої вгору, з вершиною в точці (0, 2).

2) f(x) = (1/3)x² - 4:

Ця функція також є квадратичною функцією, але зі зміщенням вниз на 4 одиниці. Знову ж таки, форма квадратичної функції залежить від знаку коефіцієнта при квадратичному члені (x²). У даному випадку, коефіцієнт є додатнім (1/3), що означає, що графік буде відкритим вгору, так само, як і у першому прикладі.

Знайдемо вершину графіка, використовуючи формулу: x = -b / (2a). У нашому випадку, a = 1/3 та b = 0, тому вершина графіка буде мати координати (0, -4).

Так само, як і у попередньому прикладі, графік цієї функції є симетричним відносно вершини. Отже, якщо ми знаємо одну точку на графіку, можемо отримати її симетричну точку відносно вершини.

Наприклад, якщо ми підставимо x = 1 в нашу функцію, отримаємо: f(1) = (1/3)(1)² - 4 = 1/3 - 4 = -3.67. Це означає, що точка (1, -3.67) належить графіку функції. Оскільки графік симетричний, то точка (-1, -3.67) також належить графіку.

Тепер, ми можемо побудувати графік, використовуючи ці дані. Ось декілька точок, які ми обчислили:

- Вершина: (0, -4) - Точка (1, -3.67) - Точка (-1, -3.67)

З'єднавши ці точки, ми отримаємо графік функції f(x) = (1/3)x² - 4. Його форма також буде параболою, відкритою вгору, з вершиною в точці (0, -4).

Сподіваюся, що ця відповідь була детальною та зрозумілою. Якщо у вас є ще запитання, будь ласка, дайте знати!