Question

При каких значениях a уравнение x^4-(4a+2)x^2+3a^2+2a=0 имеет два решения

Answer 1

Уравнение x^4-(4a+2)x^2+3a^2+2a=0 имеет два решения при тех значениях a, при которых дискриминант квадратного трехчлена по x^2 равен нулю. То есть, при решении этого уравнения методом выделения полного квадрата, получается линейное уравнение по x, а не квадратное. Дискриминант квадратного трехчлена по x^2 равен D = (4a+2)^2-4*3a^2*2a = 16a^2+16a+4-24a^3-24a^2 = -24a^3-8a^2+16a+4. Чтобы он был равен нулю, нужно решить уравнение -24a^3-8a^2+16a+4 = 0. Это уравнение можно решить, например, методом группировки или методом разложения на множители. Один из способов решения этого уравнения можно найти [здесь](https://mathus.ru/math/ege20.pdf) (стр. 7, № 135). Ответ: a = -1/3 или a = -1/2 или a = 1/4.