Question

Ребро куба ABCDA1B1C1D1 дорівнює a. K - середина ребра DD1. Знайдіть площу перерізу, проведеного через точки A,B1,K

Answer 1

Для решения этой задачи нам необходимо найти площадь перереза, проведенного через точки A, B1 и K на ребре куба ABCDA1B1C1D1.

Построение

1. Начнем с построения куба ABCDA1B1C1D1. По определению, каждая из вершин куба соединена соседними вершинами ребрами, и все ребра имеют одинаковую длину. 2. Заметим, что ребро DD1 является диагональю грани A1B1C1D1. Поскольку K является серединой этой диагонали, то ребро DK равно ребру DK1. 3. Проведем прямую, проходящую через точки A и B1. Обозначим точку пересечения этой прямой с ребром DD1 как M.

Решение

1. Найдем длину ребра куба ABCDA1B1C1D1. Поскольку ребро DD1 является диагональю грани A1B1C1D1, она равна длине стороны грани, умноженной на корень из 2 (по теореме Пифагора). Пусть сторона грани куба равна s, тогда длина ребра DD1 равна s * √2. 2. Ребро DK равно ребру DK1, а значит, его длина также равна s * √2. 3. Поскольку точка K является серединой ребра DD1, отрезок KM также равен половине длины ребра DK, то есть KM = DK / 2 = (s * √2) / 2. 4. Теперь нам нужно найти площадь треугольника AB1K, образованного точками A, B1 и K. Для этого воспользуемся формулой площади треугольника: S = (1/2) * a * h, где a - основание треугольника, h - высота треугольника. 5. Основание треугольника AB1K равно длине отрезка AB1, который является проекцией ребра DK на плоскость грани A1B1C1D1. Поскольку ребро DK параллельно грани A1B1C1D1, его проекция на эту плоскость будет просто отрезком DK. 6. Длина отрезка DK равна (s * √2), поэтому основание треугольника AB1K равно (s * √2). 7. Высота треугольника AB1K равна длине отрезка KM, который мы уже нашли: KM = (s * √2) / 2. 8. Подставим значения основания (a) и высоты (h) в формулу площади треугольника: S = (1/2) * (s * √2) * ((s * √2) / 2) = (s^2 * √2) / 4.

Таким образом, площадь перереза, проведенного через точки A, B1 и K на ребре куба ABCDA1B1C1D1, равна (s^2 * √2) / 4, где s - длина стороны грани куба.