Question

Производная функции Y=5^3x равна ?

Answer 1

Для нахождения производной функции Y = 5^(3x) нужно применить правило дифференцирования степенной функции и правило дифференцирования композиции функций.

Применение правила дифференцирования степенной функции

Если у нас есть функция f(x) = x^n, то её производная будет равна произведению степени на производную основания. То есть, производная будет f'(x) = n * x^(n-1).

Применение правила дифференцирования композиции функций

Если у нас есть функция g(x) = f(h(x)), где f(x) и h(x) — две функции, то производная функции g(x) будет равна произведению производной функции f(x) по переменной внутри функции на производную функции h(x) по переменной внутри функции. То есть, g'(x) = f'(h(x)) * h'(x).

Нахождение производной функции Y = 5^(3x)

Применим эти правила для функции Y = 5^(3x):

1. Перепишем функцию Y = 5^(3x) как Y = (5^3)^x.

2. Применим правило дифференцирования степенной функции: Y' = 3 * (5^3)^(x-1).

3. Заметим, что (5^3)^(x-1) = 5^(3(x-1)), и применим правило дифференцирования степенной функции ещё раз: Y' = 3 * 5^(3(x-1)) * 3(x-1).

4. Упростим выражение: Y' = 3^2 * 5^(3(x-1)) * (x-1).

Таким образом, производная функции Y = 5^(3x) равна 9 * 5^(3(x-1)) * (x-1).