Question

На некоторой остановке автобус останавливается только по требованию. Вероятность остановки равна 0,3. За смену автобус проходит мимо этой остановки 4 раза. Составить закон распределения случайной величины X , равной числу остановок за смену, построить функцию распределения случайной величиныX , найтиM (X ), D(X ), σ (X )..

Answer 1

Закон распределения случайной величины X

Дано, что вероятность остановки автобуса на данной остановке равна 0.3. За смену автобус проходит мимо этой остановки 4 раза.

Построим закон распределения случайной величины X, которая представляет собой количество остановок автобуса за смену.

Поскольку вероятность остановки равна 0.3, то вероятность проезда мимо остановки равна 0.7.

Таким образом, закон распределения случайной величины X будет иметь следующий вид:

| X (количество остановок) | P(X) (вероятность) | |-------------------------|--------------------| | 0 | 0.7^4 | | 1 | 4 * 0.3 * 0.7^3 | | 2 | 6 * 0.3^2 * 0.7^2 | | 3 | 4 * 0.3^3 * 0.7 | | 4 | 0.3^4 |

Функция распределения случайной величины X

Функция распределения случайной величины X показывает вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее или равное заданному числу.

Для нахождения функции распределения случайной величины X, мы будем суммировать вероятности всех значений X, меньших или равных заданному числу.

| X (количество остановок) | P(X) (вероятность) | F(X) (функция распределения) | |-------------------------|--------------------|------------------------------| | 0 | 0.7^4 | 0.7^4 | | 1 | 4 * 0.3 * 0.7^3 | 0.7^4 + 4 * 0.3 * 0.7^3 | | 2 | 6 * 0.3^2 * 0.7^2 | 0.7^4 + 4 * 0.3 * 0.7^3 + 6 * 0.3^2 * 0.7^2 | | 3 | 4 * 0.3^3 * 0.7 | 0.7^4 + 4 * 0.3 * 0.7^3 + 6 * 0.3^2 * 0.7^2 + 4 * 0.3^3 * 0.7 | | 4 | 0.3^4 | 0.7^4 + 4 * 0.3 * 0.7^3 + 6 * 0.3^2 * 0.7^2 + 4 * 0.3^3 * 0.7 + 0.3^4 |

M(X) (математическое ожидание)

Математическое ожидание M(X) случайной величины X показывает среднее значение этой случайной величины.

Для нахождения математического ожидания M(X), мы будем умножать каждое значение X на его вероятность P(X) и суммировать полученные произведения.

M(X) = 0 * P(0) + 1 * P(1) + 2 * P(2) + 3 * P(3) + 4 * P(4)

Вычислим значения и произведения:

M(X) = 0 * 0.7^4 + 1 * (4 * 0.3 * 0.7^3) + 2 * (6 * 0.3^2 * 0.7^2) + 3 * (4 * 0.3^3 * 0.7) + 4 * 0.3^4

M(X) = 0 + 0.84 + 0.504 + 0.252 + 0.1296

M(X) = 1.7256

D(X) (дисперсия)

Дисперсия D(X) случайной величины X показывает меру разброса значений случайной величины относительно ее математического ожидания.

Для нахождения дисперсии D(X), мы будем вычислять квадрат разности каждого значения X и математического ожидания M(X), умножать полученный квадрат на вероятность P(X) и суммировать полученные произведения.

D(X) = (0 - M(X))^2 * P(0) + (1 - M(X))^2 * P(1) + (2 - M(X))^2 * P(2) + (3 - M(X))^2 * P(3) + (4 - M(X))^2 * P(4)

Вычислим значения и произведения:

D(X) = (0 - 1.7256)^2 * 0.7^4 + (1 - 1.7256)^2 * (4 * 0.3 * 0.7^3) + (2 - 1.7256)^2 * (6 * 0.3^2 * 0.7^2) + (3 - 1.7256)^2 * (4 * 0.3^3 * 0.7) + (4 - 1.7256)^2 * 0.3^4

D(X) = 1.7256^2 * 0.7^4 + 0.2744^2 * (4 * 0.3 * 0.7^3) + 0.2744^2 * (6 * 0.3^2 * 0.7^2) + 1.2744^2 * (4 * 0.3^3 * 0.7) + 2.2744^2 * 0.3^4

D(X) = 0.2976 + 0.0912 + 0.03648 + 0.03648 + 0.032256

D(X) = 0.493056

σ(X) (стандартное отклонение)

Стандартное отклонение σ(X) случайной величины X показывает меру разброса значений случайной величины относительно ее математического ожидания в единицах измерения случайной величины.

Стандартное отклонение σ(X) можно найти как квадратный корень из дисперсии D(X).

σ(X) = sqrt(D(X))

Вычислим стандартное отклонение:

σ(X) = sqrt(0.493056)

σ(X) ≈ 0.7015

Вывод

Таким образом, закон распределения случайной величины X, равной числу остановок автобуса за смену, имеет вид, приведенный в таблице. Функция распределения случайной величины X показывает вероятность того, что X примет значение, меньшее или равное заданному числу. Математическое ожидание M(X) равно 1.7256, дисперсия D(X) равна 0.493056, а стандартное отклонение σ(X) примерно равно 0.7015.