Question

Решить, написать получившийся промежуток (x-1)²(x-3)<0

Answer 1

Чтобы решить неравенство \((x-1)^2(x-3) < 0\), мы можем воспользоваться методом интервалов. Вначале найдем точки, где левая часть равна нулю или не определена, и затем рассмотрим интервалы между этими точками.

1. Найдем точки, где \((x-1)^2(x-3) = 0\):

a. \((x-1)^2 = 0\) при \(x = 1\). b. \(x-3 = 0\) при \(x = 3\).

2. Разобьем вещественную прямую на интервалы с использованием найденных точек:

a. Интервал \((- \infty, 1)\) b. Интервал \((1, 3)\) c. Интервал \((3, +\infty)\)

3. Выберем по одной точке из каждого интервала и проверим знак выражения \((x-1)^2(x-3)\) на каждом интервале:

a. Для интервала \((- \infty, 1)\) выберем \(x = 0\). Подставим в выражение: \((0-1)^2(0-3) = 1 \cdot (-3) = -3\). Таким образом, знак отрицательный. b. Для интервала \((1, 3)\) выберем \(x = 2\). Подставим в выражение: \((2-1)^2(2-3) = 1 \cdot (-1) = -1\). Знак также отрицательный. c. Для интервала \((3, +\infty)\) выберем \(x = 4\). Подставим в выражение: \((4-1)^2(4-3) = 9 \cdot 1 = 9\). Знак положительный.

Теперь мы видим, что неравенство выполняется на интервалах \((- \infty, 1)\) и \((1, 3)\). Таким образом, решением неравенства \((x-1)^2(x-3) < 0\) является интервал \(1 < x < 3\).