Question

Найдите сумму 1*2+2*3+...+99*100.

Answer 1

Это задача на суммирование арифметической прогрессии. В данном случае, у нас есть последовательность произведений 1*2, 2*3, ..., 99*100. Обозначим эти произведения как a_n, где n - порядковый номер элемента.

\[a_n = n \cdot (n + 1)\]

Теперь нам нужно найти сумму всех элементов этой последовательности от \(n = 1\) до \(n = 99\). Обозначим эту сумму как \(S\):

\[S = \sum_{n=1}^{99} a_n = \sum_{n=1}^{99} n \cdot (n + 1)\]

Мы можем разложить это выражение на две части:

\[S = \sum_{n=1}^{99} n^2 + \sum_{n=1}^{99} n\]

Существуют известные формулы для суммы квадратов и суммы первых \(n\) натуральных чисел:

\[\sum_{n=1}^{99} n^2 = \frac{n \cdot (n + 1) \cdot (2n + 1)}{6}\]

\[\sum_{n=1}^{99} n = \frac{n \cdot (n + 1)}{2}\]

Теперь мы можем подставить эти формулы в наше выражение:

\[S = \frac{99 \cdot 100 \cdot 199}{6} + \frac{99 \cdot 100}{2}\]

Теперь давайте вычислим этот результат:

\[S = 330,165 + 4,950 = 335,115\]

Итак, сумма \(1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + ... + 99 \cdot 100\) равна 335,115.