Question

В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 10, а угол, лежащий напротив него, равен 60 градусов, а гипотенуза равна 20. Найдите площадь треугольника

Answer 1

Для решения задачи нам нужно использовать основные свойства прямоугольных треугольников. В данном случае у нас есть прямоугольный треугольник с катетами \(a = 10\) и \(b\) (неизвестный), угол \(\alpha\) при катете \(a\) равен \(60^\circ\), а гипотенуза \(c = 20\).

Мы можем использовать тригонометрические функции для нахождения неизвестных значений. Так как у нас есть угол и катет, мы можем использовать тангенс угла:

\[ \tan(\alpha) = \frac{a}{b} \]

В данном случае:

\[ \tan(60^\circ) = \frac{10}{b} \]

Теперь найдем значение \(b\):

\[ b = \frac{10}{\tan(60^\circ)} \]

Мы знаем, что \(\tan(60^\circ) = \sqrt{3}\), поэтому:

\[ b = \frac{10}{\sqrt{3}} \]

Теперь, когда у нас есть значения катетов, мы можем найти площадь прямоугольного треугольника, используя формулу:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \]

Подставим значения:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot \frac{10}{\sqrt{3}} \]

Упростим выражение:

\[ S = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot 50 \]

Чтобы избавиться от знаменателя в дроби, умножим и разделим на \(\sqrt{3}\):

\[ S = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot 50 \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \]

\[ S = \frac{50\sqrt{3}}{3} \]

Итак, площадь прямоугольного треугольника равна \(\frac{50\sqrt{3}}{3}\).