Question

Найдите наименьшее треехзначное число которое при деление на 60 и 75 дает в остатке 18

Answer 1

Давайте решим эту задачу. Пусть x - искомое трехзначное число.

Условие гласит, что при делении на 60 и 75 число x дает в остатке 18. Это можно записать в виде двух уравнений:

1. \(x \equiv 18 \pmod{60}\) 2. \(x \equiv 18 \pmod{75}\)

Для упрощения расчетов найдем первоначальные остатки от деления x на 60 и 75:

1. \(x \equiv 18 \pmod{60}\) означает, что \(x = 60a + 18\), где a - целое число. 2. \(x \equiv 18 \pmod{75}\) означает, что \(x = 75b + 18\), где b - целое число.

Теперь у нас есть система уравнений:

\[ \begin{align*} x &= 60a + 18 \\ x &= 75b + 18 \end{align*} \]

Чтобы найти наименьшее трехзначное число, начнем с минимальных целых значений a и b.

1. Пусть a = 1. Тогда \(x = 60 \cdot 1 + 18 = 78\). 2. Проверим, удовлетворяет ли это значение условию второго уравнения: \(78 = 75 \cdot 1 + 3\). Условие не выполняется.

3. Пусть a = 2. Тогда \(x = 60 \cdot 2 + 18 = 138\). 4. Проверим, удовлетворяет ли это значение условию второго уравнения: \(138 = 75 \cdot 1 + 63\). Условие выполняется.

Таким образом, наименьшее трехзначное число, удовлетворяющее условиям задачи, равно 138.