Question

2sin'2x+9cosx+3=0помоните

Answer 1

Конечно, я готов помочь. У вас есть уравнение \(2\sin^2(x) + 9\cos(x) + 3 = 0\), и вы хотите решить его. Давайте разберемся.

Давайте заметим, что у нас есть и синус, и косинус в уравнении. Мы можем воспользоваться тригонометрическим тождеством \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\), чтобы избавиться от одной из функций. Воспользуемся тем, что \(\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)\). Заменим это в уравнение:

\[2(1 - \cos^2(x)) + 9\cos(x) + 3 = 0\]

Упростим:

\[2 - 2\cos^2(x) + 9\cos(x) + 3 = 0\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \(\cos(x)\):

\[2\cos^2(x) - 9\cos(x) - 5 = 0\]

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с использованием формулы:

\[\cos(x) = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

где \(a = 2\), \(b = -9\), \(c = -5\).

\[ \cos(x) = \frac{9 \pm \sqrt{(-9)^2 - 4(2)(-5)}}{2(2)} \]

\[ \cos(x) = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 40}}{4} \]

\[ \cos(x) = \frac{9 \pm \sqrt{121}}{4} \]

\[ \cos(x) = \frac{9 \pm 11}{4} \]

Таким образом, у нас есть два возможных значения для \(\cos(x)\):

1. \(\cos(x) = \frac{9 + 11}{4} = \frac{20}{4} = 5\) 2. \(\cos(x) = \frac{9 - 11}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5\)

Однако, косинус не может быть больше 1 по модулю, поэтому первое значение некорректно. Итак, у нас есть одно корректное значение:

\(\cos(x) = -0.5\)

Теперь найдем соответствующее значение \(x\). Это можно сделать, используя обратную функцию косинуса (арккосинус):

\[ x = \arccos(-0.5) \]

Таким образом, \( x \) принимает значения вида:

\[ x = \pi + 2\pi n \]

где \( n \) - любое целое число.

Итак, решение уравнения \( 2\sin^2(x) + 9\cos(x) + 3 = 0 \) в диапазоне от 0 до \(2\pi\) (один полный оборот) - это:

\[ x = \pi + 2\pi n \]

где \( n \) - целое число.