Question

Помогите пожалуйста!! Найти общее решение дифференциального уравнения x*y'-4y=x^2*y^1/2

Answer 1

Общее решение дифференциального уравнения

Дано дифференциальное уравнение: x*y' - 4y = x^2*y^(1/2).

Для нахождения общего решения данного уравнения, мы можем использовать метод вариации постоянной.

1. Сначала решим соответствующее однородное уравнение: x*y' - 4y = 0. Это уравнение не содержит правой части и имеет вид y' - (4/x)*y = 0.

Для решения этого уравнения, мы предполагаем, что y имеет вид y = x^m, где m - некоторая константа. Подставим это предположение в уравнение и получим:

(m*x^(m-1)) - (4/x)*(x^m) = 0.

Упростим это уравнение, домножив обе части на x:

m*x^m - 4*x^(m-1) = 0.

Теперь вынесем общий множитель x^m:

x^m * (m - 4/x) = 0.

Поскольку x^m не может быть равно нулю, то у нас остается уравнение m - 4/x = 0. Решим его:

m = 4/x.

Таким образом, общее решение однородного уравнения имеет вид y_h = C*x^4, где C - произвольная константа.

2. Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения: x*y' - 4y = x^2*y^(1/2).

Предположим, что частное решение имеет вид y_p = A*x^2*y^(1/2), где A - некоторая константа, которую нужно найти.

Подставим это предположение в уравнение и найдем значение A:

x*(A*x^2*(1/2)*y^(-1/2)) - 4*(A*x^2*y^(1/2)) = x^2*y^(1/2).

Упростим это уравнение:

(A/2)*x^3*y^(-1/2) - 4*A*x^2*y^(1/2) = x^2*y^(1/2).

Теперь выразим A:

(A/2)*x^3*y^(-1/2) - 4*A*x^2*y^(1/2) = x^2*y^(1/2).

A*(x^3*y^(-1/2) - 8*x^2*y^(1/2)) = 2*x^2*y^(1/2).

A = (2*x^2*y^(1/2))/(x^3*y^(-1/2) - 8*x^2*y^(1/2)).

Таким образом, мы нашли значение A.

3. Общее решение неоднородного уравнения будет иметь вид y = y_h + y_p, где y_h = C*x^4 - общее решение однородного уравнения, а y_p - частное решение неоднородного уравнения.

Итак, общее решение дифференциального уравнения x*y' - 4y = x^2*y^(1/2) будет иметь вид:

y = C*x^4 + A*x^2*y^(1/2), где C и A - произвольные константы.

Пожалуйста, обратите внимание, что данное решение является предположительным и требует проверки.