Question

А) -корень из 2*sin(-5*пи/2+x)*sin(x) = cos(x) б) на промежутке [9пи/2;6пи] (решить с помощью окружности

Answer 1

Давайте рассмотрим уравнение и постараемся его решить.

Уравнение: \[ \sqrt{2}\sin\left(-\frac{5\pi}{2}+x\right)\sin(x) = \cos(x) \]

Для удобства, представим \(\sin(-\frac{5\pi}{2}+x)\) как \(\sin(-\frac{\pi}{2}-\frac{5\pi}{2}+x) = \sin(-\frac{\pi}{2}+x)\). Теперь уравнение примет вид:

\[ \sqrt{2}\sin(-\frac{\pi}{2}+x)\sin(x) = \cos(x) \]

Используем тригонометрическую тождества: \[ \sin(-\frac{\pi}{2}+x) = -\cos(x) \]

Подставим это обратно в уравнение: \[ -\sqrt{2}\cos(x)\sin(x) = \cos(x) \]

Разделим обе стороны на \(\cos(x)\) (предполагая, что \(\cos(x) \neq 0\), так как в этом случае уравнение теряет смысл): \[ -\sqrt{2}\sin(x) = 1 \]

Теперь решим это уравнение для \(x\): \[ \sin(x) = -\frac{1}{\sqrt{2}} \]

Так как \(\sin(\frac{-\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}\), то у нас есть одно решение в интервале \([0, 2\pi)\): \(x = \frac{-\pi}{4} + 2k\pi\), где \(k\) - целое число.

Теперь рассмотрим вторую часть вашего вопроса:

\[ 9\pi/2 \leq x \leq 6\pi \]

На промежутке \([9\pi/2, 6\pi]\) у нас есть несколько интересных вещей. Сначала рассмотрим интервал \([9\pi/2, 10\pi/2]\):

\[ x = \frac{-\pi}{4} + 2k\pi, \text{ где } \frac{9\pi}{2} \leq x \leq \frac{10\pi}{2} \]

Таким образом, \(k = 4\) удовлетворяет условиям этого интервала, и мы получаем \(x = \frac{-\pi}{4} + 8\pi\).

Теперь рассмотрим интервал \([10\pi/2, 11\pi/2]\):

\[ x = \frac{-\pi}{4} + 2k\pi, \text{ где } \frac{10\pi}{2} \leq x \leq \frac{11\pi}{2} \]

Таким образом, \(k = 5\) удовлетворяет условиям этого интервала, и мы получаем \(x = \frac{-\pi}{4} + 10\pi\).

Продолжая таким образом, мы можем рассмотреть интервал \([11\pi/2, 12\pi/2]\), и так далее.

Таким образом, общее решение уравнения на заданном интервале:

\[ x = \frac{-\pi}{4} + 2k\pi, \text{ где } 4 \leq k \leq 11 \]

Надеюсь, это помогло!