Question

Докажите, что число вида 33...31 не делится на 7.

Answer 1

Давайте рассмотрим число вида \(33...31\), где многоточие означает, что между тройками (33) и единицей (1) может быть любое количество цифр. Попробуем доказать, что такое число не делится на 7.

Предположим, что число \(33...31\) делится на 7. Тогда остаток от деления этого числа на 7 равен нулю.

Рассмотрим числа вида \(33...31\). Мы можем представить это число как: \[33...31 = 30 + 3 + 30 + 3 + \ldots + 3 + 1.\]

Теперь давайте посмотрим на остатки от деления каждого из этих слагаемых на 7:

- \(30 \equiv 2 \pmod{7}\), - \(3 \equiv 3 \pmod{7}\), - \(30 \equiv 2 \pmod{7}\), - \(3 \equiv 3 \pmod{7}\), - \(\ldots\), - \(3 \equiv 3 \pmod{7}\), - \(1 \equiv 1 \pmod{7}\).

Теперь сложим эти остатки: \[2 + 3 + 2 + 3 + \ldots + 3 + 1.\]

Заметим, что сумма остатков \(2 + 3\) равна 5, а сумма остатков \(3 + 2\) также равна 5. Таким образом, каждая пара слагаемых даёт остаток 5 при делении на 7. Если у нас есть \(k\) пар слагаемых (где \(k\) - количество троек в числе), то общая сумма остатков будет равна \(5k\).

Теперь давайте вернемся к числу \(33...31\). Мы представили его как сумму остатков от деления каждого слагаемого на 7. Теперь у нас есть сумма остатков \(5k\).

Если это число делится на 7, то сумма остатков также должна делиться на 7. Однако, так как 5 не делится на 7, сумма остатков \(5k\) тоже не делится на 7.

Таким образом, мы пришли к противоречию: мы предположили, что число \(33...31\) делится на 7, но пришли к выводу, что сумма остатков от деления его составляющих на 7 не делится на 7. Следовательно, наше изначальное предположение неверно, и число \(33...31\) не делится на 7.