Question

Найдите количество десятизначных натуральных чисел, у которых сумма цифр делится на 5

Answer 1

Чтобы найти количество десятизначных натуральных чисел, у которых сумма цифр делится на 5, давайте рассмотрим возможные варианты.

Десятизначное число имеет следующий вид: \(abcdefghij\), где каждая буква представляет собой одну цифру (от 0 до 9). Сумма цифр этого числа будет равна \(a + b + c + d + e + f + g + h + i + j\).

Мы хотим, чтобы сумма цифр десятизначного числа делилась на 5. Это означает, что:

\[a + b + c + d + e + f + g + h + i + j \equiv 0 \pmod{5}\]

Так как каждая цифра числа принимает значения от 0 до 9, то каждая из них может быть сравнена с остатком при делении на 5. Таким образом, сумма цифр делится на 5, если остаток от деления каждой цифры на 5 равен остатку от деления суммы на 5.

Рассмотрим остатки при делении на 5 для цифр от 0 до 9:

\[0, 1, 2, 3, 4, 0, 1, 2, 3, 4\]

Теперь мы можем сформулировать следующее утверждение:

\[a + b + c + d + e + f + g + h + i + j \equiv 0 \pmod{5}\]

Так как у нас есть 10 цифр с различными остатками при делении на 5, то для каждой из 10 цифр можно выбрать один из 5 остатков. Следовательно, у нас есть \(5^{10}\) вариантов выбора остатков для каждой из цифр.

Таким образом, количество десятизначных натуральных чисел, у которых сумма цифр делится на 5, равно \(5^{10}\).