Question

Сколько чисел от 1 до 1000 (включительно) не представимы в виде разности двух квадратов целых чисел?

Answer 1

Числа, которые можно представить в виде разности двух квадратов целых чисел, следуют из формулы разности квадратов:

\[a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\]

Это можно интерпретировать как разность двух квадратов: \(a^2\) и \(b^2\), которая равна произведению \((a - b)\) и \((a + b)\). Важно отметить, что любое чётное число может быть представлено в виде разности квадратов целых чисел (например, \(n = \frac{(n/2 + 1) + (n/2 - 1)}{2}\)).

Теперь посмотрим на числа от 1 до 1000 и определим, какие из них нельзя представить в виде разности двух квадратов целых чисел.

1. Простые числа: Числа вроде 3, 5, 7, 11, и т.д. Невозможно представить в виде разности двух квадратов, потому что они не имеют целочисленных корней и не делятся на другие целые числа (кроме 1 и самого себя) без остатка.

2. Некоторые составные числа: Например, 15 (\(15 = 4^2 - 1^2\)), 21 (\(21 = 11^2 - 8^2\)), и т.д., многие составные числа можно представить в виде разности двух квадратов.

Чтобы точно определить количество чисел от 1 до 1000, которые нельзя представить в виде разности двух квадратов, можно воспользоваться формулой: число таких чисел = общее количество чисел - количество чисел, представимых в виде разности квадратов.

Общее количество чисел от 1 до 1000 включительно: \(1000 - 1 + 1 = 1000\).

Теперь найдем количество чисел, представимых в виде разности квадратов. Для этого можно пройтись по всем возможным комбинациям квадратов и узнать, сколько чисел они представляют:

- \(1^2 - 0^2\) (это включает 1) - \(2^2 - 1^2\) - \(3^2 - 2^2\) - ... - \(31^2 - 30^2\)

Это означает, что первые 31 чисел \(1^2 - 0^2\) до \(31^2 - 30^2\) представимы в виде разности двух квадратов.

Таким образом, общее количество чисел от 1 до 1000, представимых в виде разности двух квадратов, равно 31.

И, следовательно, количество чисел от 1 до 1000, которые нельзя представить в виде разности двух квадратов целых чисел, равно \(1000 - 31 = 969\) чисел.