Question

Обратите смешанную периодическую дробь в обыкновенную 1)0,5(3) 2)0,17(8) 3)0,23(16) 4)0,14(234)

Answer 1

Для преобразования смешанных периодических десятичных дробей в обыкновенные дроби, давайте рассмотрим каждый пример по отдельности.

1) \(0,5(3)\):

Пусть \(x = 0,5(3)\), тогда:

\[x = 0,5333333...\]

Умножим обе стороны на 10, чтобы избавиться от дробной части:

\[10x = 5,33333...\]

Теперь вычтем из первого уравнения второе:

\[10x - x = 5,3333... - 0,53333...\]

\[9x = 4,8\]

\[x = \frac{4,8}{9}\]

Теперь мы можем упростить дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД), который равен 1:

\[x = \frac{4,8}{9} = \frac{8}{15}\]

Таким образом, \(0,5(3) = \frac{8}{15}\).

2) \(0,17(8)\):

Пусть \(y = 0,17(8)\), тогда:

\[y = 0,1787878...\]

Умножим обе стороны на 100, чтобы избавиться от периода:

\[100y = 17,878787...\]

Теперь вычтем из первого уравнения второе:

\[100y - y = 17,8787... - 0,1787...\]

\[99y = 17,7\]

\[y = \frac{17,7}{99}\]

Упростим дробь:

\[y = \frac{177}{990} = \frac{59}{330}\]

Таким образом, \(0,17(8) = \frac{59}{330}\).

3) \(0,23(16)\):

Пусть \(z = 0,23(16)\), тогда:

\[z = 0,2316161616...\]

Умножим обе стороны на 100, чтобы избавиться от периода:

\[100z = 23,161616...\]

Теперь вычтем из первого уравнения второе:

\[100z - z = 23,1616... - 0,2316...\]

\[99z = 22,93\]

\[z = \frac{22,93}{99}\]

Упростим дробь:

\[z = \frac{2293}{9900}\]

Таким образом, \(0,23(16) = \frac{2293}{9900}\).

4) \(0,14(234)\):

Пусть \(w = 0,14(234)\), тогда:

\[w = 0,1423423423...\]

Умножим обе стороны на 1000, чтобы избавиться от периода:

\[1000w = 142,342342...\]

Теперь вычтем из первого уравнения второе:

\[1000w - w = 142,3423... - 0,1423...\]

\[999w = 142,2\]

\[w = \frac{142,2}{999}\]

Упростим дробь:

\[w = \frac{1422}{9990} = \frac{474}{3330} = \frac{79}{555}\]

Таким образом, \(0,14(234) = \frac{79}{555}\).