Question

Как решить : 3 в степени(х+4) + 3*5 в степени ( х+3) = 3 в степени(х+3) +5 в степени (х+4) ?

Answer 1

Чтобы решить уравнение \(3^{x+4} \cdot 3 \cdot 5^{x+3} = 3^{x+3} \cdot 5^{x+4}\), давайте упростим его.

Исходное уравнение:

\[3^{x+4} \cdot 3 \cdot 5^{x+3} = 3^{x+3} \cdot 5^{x+4}\]

Сначала упростим степени и объединим одинаковые базы:

\[3^{x+4} \cdot 3 \cdot 5^{x+3} = 3 \cdot 3^{x+3} \cdot 5^{x+4}\]

Теперь упростим множители с одинаковыми базами:

\[3^{x+4} \cdot 5^{x+3} = 3 \cdot 3^{x+3} \cdot 5^{x+4}\]

Теперь мы видим, что у нас есть одинаковые множители с обеих сторон уравнения. Для упрощения уравнения давайте поделим обе стороны на \(3 \cdot 5^{x+3}\):

\[\frac{3^{x+4} \cdot 5^{x+3}}{3 \cdot 5^{x+3}} = \frac{3 \cdot 3^{x+3} \cdot 5^{x+4}}{3 \cdot 5^{x+3}}\]

Сокращаем общие множители:

\[3^{x+4-1} = 3 \cdot 5^{x+4-1}\]

Упростим степени:

\[3^{x+3} = 3 \cdot 5^{x+3}\]

Теперь мы можем сократить обе стороны на \(3\):

\[3^{x+2} = 5^{x+3}\]

Теперь у нас есть уравнение с одинаковыми базами. Чтобы решить его, выражаем обе стороны уравнения в одной степени, например, возводим обе стороны в степень \(\frac{1}{x+2}\):

\[\left(3^{x+2}\right)^{\frac{1}{x+2}} = \left(5^{x+3}\right)^{\frac{1}{x+2}}\]

Это дает:

\[3 = 5^{\frac{x+3}{x+2}}\]

Теперь можно взять логарифм от обеих сторон, чтобы избавиться от степени:

\[\log_5{3} = \frac{x+3}{x+2}\]

Решаем это уравнение относительно \(x\). После нахождения \(x\), проверьте, что полученное значение удовлетворяет исходному уравнению.