Question

В треугольнике ABC проведена медиана CM. Найдите угол между двумя другими медианами, если AB=10, CM=15. В ответе укажите градусную меру искомого угла.

Answer 1

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами медиан в треугольнике. Медиана треугольника делит другую сторону пополам, и её длина равна половине длины этой стороны.

Итак, у нас есть треугольник ABC, где AB = 10 и CM = 15. Поскольку CM - медиана, то AM = MB = 15 / 2 = 7.5.

Теперь обратим внимание на другие две медианы, которые проходят из вершин A и B. Обозначим их через AN и BO соответственно.

Так как медианы делят другие стороны пополам, то AN = NB = 7.5 и BO = OA = 7.5.

Теперь у нас есть треугольник OAN, и мы можем найти углы этого треугольника. Для этого воспользуемся косинусным законом:

\[ \cos(\angle AON) = \frac{OA^2 + AN^2 - ON^2}{2 \cdot OA \cdot AN} \]

Подставим значения:

\[ \cos(\angle AON) = \frac{7.5^2 + 7.5^2 - 15^2}{2 \cdot 7.5 \cdot 7.5} \]

Решим это уравнение:

\[ \cos(\angle AON) = \frac{56.25 + 56.25 - 225}{112.5} \]

\[ \cos(\angle AON) = \frac{-112.5}{112.5} \]

\[ \cos(\angle AON) = -1 \]

Таким образом, угол AON равен 180 градусов. Однако, мы искали угол между двумя медианами. Так как медианы делят друг друга в отношении 2:1, угол между медианами будет половиной угла AON.

\[ \text{Угол между медианами} = \frac{1}{2} \cdot 180 = 90 \]

Итак, угол между двумя другими медианами треугольника ABC равен 90 градусов.