Question

Даны две стороны треугольника АВС и угол, противолежащий третьей стороне. Найдите остальные два угла и третью сторону, если ВС=16 см, АС=10 см, угол С=80

Answer 1

Для решения задачи, воспользуемся теоремой синусов. Теорема синусов гласит, что отношение длины стороны треугольника к синусу противолежащего ей угла является постоянной величиной.

В данном случае, у нас даны две стороны треугольника и угол, противолежащий третьей стороне. Будем обозначать стороны треугольника как AB = c, AC = a, BC = b, а углы как ∠A, ∠B, и ∠C, где ∠C – угол, противолежащий стороне BC.

Таким образом, у нас известны следующие данные: AB = c = BC = 16 см, AC = a = 10 см, ∠C = 80°.

Для нахождения остальных двух углов треугольника, мы можем воспользоваться формулой теоремы синусов:

sin(∠A) / a = sin(∠C) / c.

Зная значения сторон и угла, мы можем подставить их в формулу и решить уравнение относительно sin(∠A):

sin(∠A) / 10 = sin(80°) / 16.

Для решения этого уравнения, мы можем сначала найти значение sin(∠A) и затем найти ∠A:

sin(∠A) = (10 * sin(80°)) / 16.

sin(∠A) ≈ 0.9129.

∠A ≈ arcsin(0.9129).

∠A ≈ 66.5°.

Теперь, чтобы найти третий угол треугольника, мы можем использовать свойство, согласно которому сумма всех углов треугольника равна 180°. Таким образом:

∠A + ∠B + ∠C = 180°.

66.5° + ∠B + 80° = 180°.

∠B ≈ 180° - 66.5° - 80°.

∠B ≈ 33.5°.

Итак, мы нашли два оставшихся угла треугольника: ∠A ≈ 66.5° и ∠B ≈ 33.5°.

Теперь, чтобы найти третью сторону треугольника, мы можем использовать теорему косинусов. Теорема косинусов гласит, что квадрат длины третьей стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, умноженной на разность косинусов углов, образованных этими сторонами.

В данном случае, мы можем использовать следующую формулу теоремы косинусов:

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(∠C).

Подставим известные значения и найденные углы:

c^2 = 10^2 + 16^2 - 2 * 10 * 16 * cos(80°).

c^2 ≈ 100 + 256 - 320 * cos(80°).

c^2 ≈ 356 - 320 * cos(80°).

Теперь, чтобы найти третью сторону треугольника, мы можем вычислить значение квадрата этой стороны и затем извлечь из него квадратный корень:

c ≈ sqrt(356 - 320 * cos(80°)).

c ≈ sqrt(356 - 320 * 0.1736).

c ≈ sqrt(356 - 55.488).

c ≈ sqrt(300.512).

c ≈ 17.33 см (округленно).

Итак, мы нашли остальные два угла треугольника: ∠A ≈ 66.5° и ∠B ≈ 33.5°, а также третью сторону треугольника: BC ≈ 17.33 см (округленно).