Question

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у=х^2 и у=х+2

Answer 1

Для вычисления площади фигуры, ограниченной графиками функций у = х^2 и у = х + 2, нам понадобится найти точки их пересечения. Затем мы можем построить график и использовать интеграл для вычисления площади под кривой.

Нахождение точек пересечения

Для начала, найдем точки пересечения графиков функций у = х^2 и у = х + 2. Это можно сделать, приравняв уравнения и решив полученное квадратное уравнение:

х^2 = х + 2

Перенесем все в одну сторону:

х^2 - х - 2 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Применим квадратное уравнение или попробуем факторизовать его:

(x - 2)(x + 1) = 0

Из этого получаем две возможные точки пересечения: х = 2 и х = -1.

Построение графика

Теперь, когда у нас есть точки пересечения, мы можем построить график функций у = х^2 и у = х + 2. Вот как это выглядит:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-3, 3, 100)
y1 = x ** 2
y2 = x + 2

plt.plot(x, y1, label='y = x^2')
plt.plot(x, y2, label='y = x + 2')
plt.fill_between(x, y1, y2, where=(y1 > y2), color='gray', alpha=0.5)
plt.legend()
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('График функций y = x^2 и y = x + 2')
plt.grid(True)
plt.show()

Этот код использует библиотеки NumPy и Matplotlib для построения графика функций и закрашивания области под кривыми.

Вычисление площади

Теперь, когда у нас есть график, мы можем вычислить площадь фигуры, ограниченной этими двумя кривыми. Это можно сделать, используя интеграл:

S = ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx

где a и b - это значения х для точек пересечения, f(x) - это верхняя кривая (у = х^2) и g(x) - это нижняя кривая (у = х + 2).

В данном случае, площадь фигуры будет равна:

S = ∫[-1, 2] (x^2 - (x + 2)) dx

Мы можем вычислить этот интеграл аналитически или с помощью численных методов. Оба метода дадут нам одинаковый результат. Давайте вычислим этот интеграл аналитически:

S = ∫[-1, 2] (x^2 - x - 2) dx

S = [(1/3)x^3 - (1/2)x^2 - 2x] [-1, 2]

S = [(1/3)(2^3) - (1/2)(2^2) - 2(2)] - [(1/3)(-1^3) - (1/2)(-1^2) - 2(-1)]

S = [8/3 - 4 - 4] - [-1/3 + 1/2 + 2]

S = 8/3 - 4 - 4 + 1/3 - 1/2 - 2

S = 1/3 - 17/2

S = -55/6

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиками функций у = х^2 и у = х + 2, равна -55/6 (приближенно -9.17).