Question

Решите, пожалуйста, неравенства: 2sin(2x/3)<=-1 2cos(3П-x/4)+3sin(П/2-x/4)<0

Answer 1

Давайте решим неравенства по очереди.

1. 2sin(2x/3) <= -1

Для начала, давайте рассмотрим это неравенство. Мы знаем, что синус функции принимает значения от -1 до 1. Таким образом, чтобы решить это неравенство, нам нужно найти значения x, при которых 2sin(2x/3) принимает значения, меньшие или равные -1.

У нас есть неравенство 2sin(2x/3) <= -1. Чтобы избавиться от синуса, мы можем применить обратную функцию к обоим сторонам неравенства, а именно, arcsin (или sin^-1), чтобы получить x.

arcsin(2sin(2x/3)) <= arcsin(-1)

2x/3 <= arcsin(-1)

arcsin(-1) равно -π/2, так как синус равен -1 в этой точке.

2x/3 <= -π/2

Теперь домножим обе стороны на 3/2, чтобы избавиться от коэффициента 2/3:

x <= (-π/2) * (3/2)

x <= -3π/4

Таким образом, первое неравенство имеет решение x <= -3π/4.

2. 2cos(3П-x/4) + 3sin(П/2-x/4) < 0

Теперь рассмотрим второе неравенство. Здесь мы имеем сумму двух тригонометрических функций, косинуса и синуса. Для упрощения этого неравенства, мы можем использовать тригонометрические тождества для перевода косинуса и синуса в одну функцию.

Мы знаем, что cos(3П - x) = cos(3П)cos(x) + sin(3П)sin(x) = -cos(x) и sin(П/2 - x) = sin(П/2)cos(x) - cos(П/2)sin(x) = cos(x).

Теперь мы можем переписать второе неравенство:

2(-cos(x)/4) + 3cos(x/4) < 0

Упростив это выражение, получим:

-2cos(x)/4 + 3cos(x/4) < 0

-1/2cos(x) + 3cos(x/4) < 0

Теперь давайте решим это неравенство.

Мы можем заметить, что оба слагаемых содержат cos(x), поэтому давайте сгруппируем их:

(-1/2cos(x) + 3cos(x/4)) < 0

(-2cos(x) + 6cos(x/4))/4 < 0

(-2cos(x) + 6sqrt(2)/2cos(x/4))/4 < 0

(-2cos(x) + 3sqrt(2)cos(x/4))/2 < 0

Теперь мы можем упростить это выражение:

(-cos(x)(2 - 3sqrt(2)cos(x/4)))/2 < 0

Теперь нам нужно рассмотреть две возможности:

a) cos(x) < 0 и 2 - 3sqrt(2)cos(x/4) > 0 b) cos(x) > 0 и 2 - 3sqrt(2)cos(x/4) < 0

a) cos(x) < 0 и 2 - 3sqrt(2)cos(x/4) > 0

Мы знаем, что cos(x) < 0, когда x находится в интервалах (π/2 + kπ, 3π/2 + kπ), где k - целое число.

Теперь рассмотрим вторую часть неравенства: 2 - 3sqrt(2)cos(x/4) > 0

2 - 3sqrt(2)cos(x/4) > 0 -3sqrt(2)cos(x/4) > -2 cos(x/4) < 2/(3sqrt(2))

Мы знаем, что cos(x/4) < 0, когда x/4 находится в интервалах (π/2 + kπ, 3π/2 + kπ), где k - целое число.

Таким образом, для этой части неравенства, у нас есть два интервала: (π/2 + kπ, 3π/2 + kπ) и (π/2 + kπ, 3π/2 + kπ).

b) cos(x) > 0 и 2 - 3sqrt(2)cos(x/4) < 0

Мы знаем, что cos(x) > 0, когда x находится в интервалах (0 + 2kπ, π + 2kπ), где k - целое число.

Теперь рассмотрим вторую часть неравенства: 2 - 3sqrt(2)cos(x/4) < 0

2 - 3sqrt(2)cos(x/4) < 0 -3sqrt(2)cos(x/4) < -2 cos(x/4) > 2/(3sqrt(2))

Мы знаем, что cos(x/4) > 0, когда x/4 находится в интервалах (0 + 2kπ, π + 2kπ), где k - целое число.

Таким образом, для этой части неравенства, у нас есть интервал (0 + 2kπ, π + 2kπ).

Таким образом, решение второго неравенства будет объединением всех найденных интервалов:

x <= -3π/4, x/4 ∈ (π/2 + kπ, 3π/2 + kπ) и x/4 ∈ (0 + 2kπ, π + 2kπ)

Надеюсь, это помогает! Если у вас есть какие-либо дополнительные вопросы, пожалуйста, дайте мне знать.