Question

Решить уравнения sinx-2cosx=2 5sin5x-0,5cos5x=1/2 √3sinx-cosx=1

Answer 1

Для решения данного уравнения, мы можем использовать метод подстановки и тригонометрические тождества, чтобы привести его к более простой форме.

Шаг 1: Решение уравнения sin(x) - 2cos(x) = 2 Мы можем использовать тригонометрическое тождество sin(x) = cos(π/2 - x) для замены sin(x) в уравнении: cos(π/2 - x) - 2cos(x) = 2

Раскроем cos(π/2 - x) с помощью формулы cos(α - β) = cos(α)cos(β) + sin(α)sin(β): cos(π/2)cos(x) + sin(π/2)sin(x) - 2cos(x) = 2 0 - cos(x) - 2cos(x) = 2 -3cos(x) = 2 cos(x) = -2/3

Таким образом, мы нашли значение cos(x), равное -2/3.

Шаг 2: Решение уравнения 5sin(5x) - 0.5cos(5x) = 1/2 Сначала упростим уравнение, умножив его на 2: 10sin(5x) - cos(5x) = 1

Шаг 3: Решение уравнения √3sin(x) - cos(x) = 1 Возведем оба выражения уравнения в квадрат: (√3sin(x))^2 - 2√3sin(x)cos(x) + (cos(x))^2 = 1^2 3sin^2(x) - 2√3sin(x)cos(x) + cos^2(x) = 1

Мы можем использовать тригонометрическое тождество sin^2(x) + cos^2(x) = 1 для замены sin^2(x) + cos^2(x) в уравнении: 3 - 2√3sin(x)cos(x) = 1 2√3sin(x)cos(x) = 2 √3sin(x)cos(x) = 1

Шаг 4: Объединение всех уравнений Теперь у нас есть три уравнения: cos(x) = -2/3 10sin(5x) - cos(5x) = 1 √3sin(x)cos(x) = 1

Мы можем использовать значение cos(x) = -2/3 для решения остальных уравнений. Подставим его во второе уравнение: 10sin(5x) - (-2/3) = 1 10sin(5x) + 2/3 = 1 10sin(5x) = 1 - 2/3 10sin(5x) = 1/3

Теперь мы можем решить уравнение 10sin(5x) = 1/3: sin(5x) = 1/30

Шаг 5: Нахождение значения x Для нахождения значения x, мы можем использовать обратные тригонометрические функции. В данном случае, мы можем использовать arcsin, чтобы найти 5x: 5x = arcsin(1/30) x = (1/5)arcsin(1/30)

Таким образом, значение x будет равно (1/5)arcsin(1/30).

Итак, решение данного уравнения выражается через cos(x) = -2/3 и x = (1/5)arcsin(1/30).