Question

Нужно доказать, что сумма делится на 23

Answer 1

Представим каждое слагаемое в виде суммы двух слагаемых, из которых одно является числом, кратным 23. Для этого воспользуемся формулами куба суммы: (x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³

и четвертой степени суммы:  (x + y)⁴ = x⁴ + 4x³y + 6x²y² + 4xy³ + y⁴  

1) 47⁴ = (46+1)⁴ = 46⁴ + 4*46³ + 6*46² + 4*46 + 1 =

         = 46(46³ + 4*46² + 6*46 + 4) + 1

пусть (46³ + 4*46² + 6*46 + 4) = х, тогда:

  47⁴ = 46х + 1 = 23*2х + 1

2) 70³ = (69+1)³ = 69³ + 3*69² + 3*69 + 1 =

          = 69*(69² + 3*69 + 3) + 1

пусть (69² + 3*69 + 3) = у, тогда:

   70³ = 69у + 1 = 23*3у + 1

3) 93⁴ = (92+1)⁴ = 92⁴ + 4*92³ + 6*92² + 4*92 + 1 =

          = 92*(92³ + 4*92² + 6*92 + 4) + 1

пусть (92³ + 4*92² + 6*92 + 4) = z, тогда

  93⁴ = 92z + 1 = 23*4z + 1

Выражение принимает вид:

47⁴ + 70³ + 93⁴ + 20 = 23*2х + 1 + 23*3у + 1 + 23*4z + 1 + 20 =

= 23*2х + 23*3у + 23*4z + 23 = 23*(2x+3y+4z+1).