Question

1. Определите массу Юпитера, зная, что его спутник, который отстоит от Юпитера на 422 000 км, имеет период обращения 1,77 суток. Для сравнения используйте данные для системы Земля—Луна. 2. Ускорение силы тяжести на Марсе составляет 3,7 м/с2, на Юпитере — 25 м/с2. Рассчитайте первую космическую скорость для этих планет. 3. Сколько суток (примерно) продолжается полёт КА до Марса, если он проходит по эллипсу, большая полуось которого равна 1,25 а. е.?

Answer 1

1) Дано: R = 422000 км = 4,22*10^8 м, T = 1,77 суток = 1,77*3600 =  6372 с.
Используем формулы кинематики и гравитационного притяжения.
a = F/m = GM/R².
V² = GM/R, V = 2πR/T.
Получаем M = V²R/G = 4π²R³/(T²G).
Подставим данные:
М = (4* 9,869604*(4,22*10^8)³)/(1.77*3600)²*6.67*10^(-11)) =  1,10*10^(30) кг.

2) Дано: ускорение силы тяжести на Марсе составляет 3,7 м/с², на Юпитере — 25 м/с².
Первая космическая скорость для планет определяется по формуле:
V = √(gR), 
где:
g - ускорение свободного падения на поверхности планеты, м/с²;
R - радиус планеты, м.

Для Марса R = 3,488*10⁶ м,
для Юпитера R = 71,3*10⁶ м.

Получаем первую космическую скорость для:
Марса  V = √(3.7*3.488*10⁶) = 3592,4 м/с ≈ 3,6 км/с;
Юпитера  V = √(25*71,3*10⁶) = 42219,7 м/с ≈ 42,2 км/с.

3) Орбитальный период Т движущегося по эллиптической орбите тела вычисляется по формуле:
$T=2 \pi \sqrt{ \frac{a^3}{μ} }$

где

μ — гравитационный параметр, равный GM,  гравитационная постоянная G = 6.67*10^(-11) (Н*м²/кг²), масса Марса М =6.4191*10^23 кг.

a — длина большой полуоси, равная 1,25 а.е.