Question

Решите неравенство: log7 x+log7(x-1)>log7 2

Answer 1

Решить неравенство.

Сразу же введём ОДЗ, чтобы потом о нём не забыть. Подлогарифмическое выражение должно быть строго положительным. Выберем наименьшее из них. Получим, что $x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1.$

$log_7x + log_7(x - 1) > log_72;\\log_7x + log_7(x - 1) > log_72;\\log_7x(x-1) > log_72.$

Так как основание логарифма больше единицы [7 > 1], то от него можно избавиться без смены знака неравенства.

$x(x - 1) > 2;\\x^2 - x - 2 > 0;\\D = \left[b^2 - 4ac\right] = 1 - 4 \cdot 1\cdot (-2) = 1 + 8 = 9 = 3^2;\\x_{1,2} = \left[\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\right] = \dfrac{1\pm3}{2} = \left[\begin{array}{c}-1,&2.\end{array}$

$(x + 1)(x - 2) > 0;\\x \in (-\infty; -1)\; U\; (2; +\infty).$

Но, учитывая ОДЗ, записанное в начале: $x \in (2; +\infty).$

Ответ: $x \in (2; +\infty).$