Question

спортсмен плыл против течения реки. проплывая под мостом, он потерял флягу. через 10 мин пловец заметил пропажу и повернул обратно. он догнал флягу у второго моста. найдите скорость течения реки, если известно, что расстояние между мостами 1 км. Напишите решение!

Answer 1

Пусть а км/ч скорость течения реки. х - км/ч - скорость пловца. Заметим, что 10 минут - это $\frac{1}{6}$ часа. То есть фляга от первого моста до второго (расстояние между ними 1 км) проплыла со скоростью течения реки по времени  $\frac{1}{a}$ часа.

Теперь надо узнать сколько за это же время проплыл пловец.

Считаем так.

1) От первого моста против течения реки  $\frac{1}{6}$ часа до обнаружения исчезновения фляги. Этот участок он проплыл со скоростью (х-а) км/ч. А все это расстояние равно $(x-a)* \frac{1}{6}$ км. 

2) Теперь обратно то же расстояние, но за меньшее время. Так как скорости пловца и течения реки будут складываться. То есть от места обнаружения пропажи фляги до первого моста (места потери фляги) пловец проплывает со скоростью (х+а) км/ч. Хорошо бы узнать за какое время. Расстояние у нас равно из предыдущего $(x-a)* \frac{1}{6}$ км. Скорость равна (х+а) км/ч. Значит времени он потратит $\frac{(x-a)*\frac{1}{6}}{(x+a)}$ часов.

3) Последний километр пловец проплывает опять со скоростью (х+а) км. Время, которое он затрачивает на этот участок равно $\frac{1}{x+a}$ часов.

Всего пловец затрачивает времени из 1), 2) и 3)-го участков вместе равно

$\frac{1}{6} + \frac{(x-a)*\frac{1}{6} }{x+a}+ \frac{1}{x+a}$

Теперь надо приравнять время, за которое проплыла фляга с первого моста до второго и время, которое затратил пловец на проплывание 3-х участков. Так как эти времена равны.

$\frac{1}{a} = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} \frac{x-a}{x+a} + \frac{1}{x+a}$

Перемножим обе части на 6(х+а)*а. Получаем следующее уравнение

6(x+a)=(x+a)*a+a(x-a)+6a

Теперь раскроем скобки

$6x+6a=xa+a^2+ax-a^2+6a$

В правой части сократим на $a^2$. Так как эти члены взаимоуничтожаются.

6x+6a=xa+ax+6a
Сокращаем обе части на 6а. Так как в обеих частях эти слагаемые встречаются один раз с положительным знаком

6x=xa+ax

6х=2ах

Делим обе части на 2х. Получаем

3=а.

Значит скорость реки равна 3 км/ч.

Ответ: 3 км/ч скорость течения реки.