Question

Sinx+cosx+2sinxcosx=1

Answer 1

Sinx+cosx =t ⇒t^2 = (sin^2x+cos^2x+2sinxcosx)=1+2sinxcosx ⇒
2sinxcosx = t^2-1
Уравнение принимает вид:
t+t^2-1=1
t^2 + t - 2 =0
D=1-4*1*(-2) = 9
t1=(-1-√9)\2 = (-1-3)\2=-4\2=-2
t2=(-1+√9)\2 = (-1+3\2=2\2=1
sinx+cosx=-2 ⇒уравнение корней не имеет, т.к. |sinx|≤1 , |cosx|≤1
sinx+cosx=1
2sinx\2cosx\2+cos^2x\2-sin^2x\2=sin^2x\2 +cos^2x\2
2sinx\2cosx\2- 2sin^2x\2=0
2sinx\2(cosx\2-sinx\2)=0
sinx\2=0 ,  cosx\2 - sinx\2 = 0
x\2=πk, k∈Z  ,    1-(sinx\2)cosx\2=0⇒1-tgx\2 =0⇒tgx\2 = 1⇒x\2 =π\4+πk, k∈Z
x=2πk, k∈Z   ,     x=π\2 + 2πk, k∈Z
Ответ: x=2πk, k∈Z   ,     x=π\2 + 2πk, k∈Z