Question

Решить систему методом Гаусса: x+2y+4z=3 2x+6y+11z=6 4x-2y-2z=-6 -x+y-z=-2 2x+3y+z=7 4x-y-2z=-1

Answer 1

Пошаговое объяснение:

х+2у+4z=3

2x+6y+11z=6

4x-2y-2z= -6

x=3-2y-4z

y= -3/2 •z

z=18/5

x=3+ 3•18/5 -4•18/5=3+ (18(3-4))/5=15/5 -18/5= -3/5= -0,6

y= -3/2 •18/5= -54/10= -27/5= -5,4

z=18/5=3,6

-x+y-z= -2

2x+3y+z=7

4x-y-2z= -1

x=2+1y-1z

y=0,6+0,2z

z=2

x=2+0,6+0,2•2-2=2,6-1,6=1

y=0,6+0,2•2=0,6+0,4=1

z=2

Answer 2

Для решения системы методом Гаусса, мы будем приводить систему к треугольному виду, затем к ступенчатому, а затем нормализуем ее.

Итак, у нас имеется следующая система уравнений:

1) x + 2y + 4z = 3 2) 2x + 6y + 11z = 6 3) 4x - 2y - 2z = -6 4) -x + y - z = -2 5) 2x + 3y + z = 7 6) 4x - y - 2z = -1

Сначала преобразуем третье уравнение, вычтя из него первое: (4x - 2y - 2z) - (x + 2y + 4z) = -6 - 3 3x - 4y - 6z = -9. Это будет новое уравнение 3.

Теперь преобразуем пятое уравнение, вычтя из него второе: (2x + 3y + z) - (2x + 6y + 11z) = 7 - 6 -3y - 10z = 1. Это будет новое уравнение 5.

И преобразуем шестое уравнение, вычтя из него удвоенное четвертое: (4x - y - 2z) - 2(-x + y - z) = -1 + 2 6x - 3y = 1. Это будет новое уравнение 6.

Теперь у нас имеется новая система уравнений, состоящая из уравнений 1, 2, 3, 4, 5, 6 и новых уравнений 3, 5, 6:

1) x + 2y + 4z = 3 2) 2x + 6y + 11z = 6 3) 3x - 4y - 6z = -9 4) -x + y - z = -2 5) -3y - 10z = 1 6) 6x - 3y = 1

Теперь приведем эту систему к треугольному виду методом Гаусса. Для этого вычтем из уравнения 2 уравнение 1, умноженное на 2: 2(1) - 2(2) = 2(3) - 2(4), 0x + 0y + z = 2 + 2.

Итак, новое уравнение: z = 4. Это будет новое уравнение 7.

Теперь можно вернуться к уравнениям 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7, опустив новые уравнения 3, 5 и 6:

1) x + 2y + 4z = 3 2) 2x + 6y + 11z = 6 3) -x + y - z = -2 4) -3y - 10z = 1 5) 6x - 3y = 1 6) z = 4

Далее продолжим приводить систему к ступенчатому виду методом Гаусса. Вычтем из уравнения 5 уравнение 1, умноженное на 6: 6(1) - (5) = 6(3) - (1), -8y - 13z = -17.

Теперь полученное уравнение можно назначить новым шестым уравнением: 6) -8y - 13z = -17.

Можно вернуться к уравнениям 1, 2, 3, 4, 6 и 7, опустив уравнение 5:

1) x + 2y + 4z = 3 2) 2x + 6y + 11z = 6 3) -x + y - z = -2 4) -3y - 10z = 1 6) -8y - 13z = -17 7) z = 4

Теперь приведем систему к нормализованному ступенчатому виду. Разделим уравнение 6 на -8: (6) / -8: (1/8)y + (13/8)z = 17/8, (вернув знак) y/8 + (13/8)z = -17/8. Это будет новое уравнение 8.

Можно вернуться к уравнениям 1, 2, 3, 4, 6, 7 и 8, опустив уравнение 5:

1) x + 2y + 4z = 3 2) 2x + 6y + 11z = 6 3) -x + y - z = -2 4) -3y - 10z = 1 6) -8y - 13z = -17 7) z = 4 8) y/8 + (13/8)z = -17/8

Теперь приведем систему к нормализованному ступенчатому виду. Умножим уравнение 8 на 8: 8(8): y + 13z = -17.

Итак, полученная система уравнений: 1) x + 2y + 4z = 3 2) 2x + 6y + 11z = 6 3) -x + y - z = -2 4) -3y - 10z = 1 6) -8y - 13z = -17 7) z = 4 8) y + 13z = -17

Решим полученную систему уравнений.

Используя уравнение 7, найдем значение z: z = 4.

Подставим полученное значение z в уравнение 8 и найдем значение y: y + 13(4) = -17, y + 52 = -17, y = -17 - 52, y = -69.

Теперь, подставив значения y и z в уравнение 1, найдем значение x: x + 2(-69) + 4(4) = 3, x - 138 + 16 = 3, x = 3 + 138 - 16, x = 125.

Таким образом, решение системы уравнений методом Гаусса: x = 125, y = -69, z = 4.