Question

Периодическая функция y=f(x) с периодом, равным 4, определена на множестве всех действительных чисел, причем на промежутке [-2;2] она совпадает с функцией y=x^2-4. Найти значение выражения f(2007)*f(2006)-f(-1)

Answer 1

Отсчитаем периоды от точки х=2.
2007 =4*501-1
Так что
$f(2007) = f(2+4*501+1)=f(3)=f(-1)\\f(2006)=f(2+4*501) = f(2)$

Итого
$f(2007)+f(2006)-f(-1)=f(-1)-f(-1)+f(2) = f(2)$

Найдем $f(2)$.
$f(2) = 2^2-4 = 0$

Ответ:
$f(2007)+f(2006)-f(-1) = 0$

Answer 2

Дано, что периодическая функция y = f(x) с периодом, равным 4, определена на множестве всех действительных чисел и на промежутке [-2;2] она совпадает с функцией y = x^2 - 4. Нам нужно найти значение выражения f(2007) * f(2006) - f(-1).

Для начала, давайте определим, какая функция соответствует периодической функции y = f(x) на всем множестве действительных чисел. Поскольку у нас известно, что на промежутке [-2;2] функция совпадает с y = x^2 - 4, мы можем использовать эту информацию для определения функции на всем множестве действительных чисел.

Поскольку период функции равен 4, мы можем представить функцию y = f(x) как сумму бесконечного ряда функций, каждая из которых повторяется каждые 4 единицы. Таким образом, мы можем записать функцию y = f(x) в виде y = x^2 - 4 + g(x), где g(x) - функция, которая повторяется каждые 4 единицы. Поскольку на промежутке [-2;2] функция совпадает с y = x^2 - 4, мы можем определить g(x) как g(x) = f(x) - (x^2 - 4).

Теперь нам нужно вычислить значение выражения f(2007) * f(2006) - f(-1).

Для начала, найдем значения функции f(x) в точках x = 2007 и x = 2006. Поскольку функция периодическая с периодом 4, мы можем найти значения функции в этих точках, вычитая из x соответствующее число, кратное 4. Таким образом, f(2007) = f(2007 - 4) и f(2006) = f(2006 - 4).

Теперь найдем значения функции f(x) в точке x = -1. Поскольку функция периодическая с периодом 4, мы можем найти значение функции в этой точке, вычитая из x наименьшее число, кратное 4, которое больше -1. Таким образом, f(-1) = f(-1 + 4).

Теперь у нас есть значения функции f(x) в точках, которые нам нужны для вычисления выражения. Мы можем использовать найденные значения, подставив их в выражение f(2007) * f(2006) - f(-1) и вычислив его.

Пример решения:

Найдем значения функции f(x) в точках x = 2007 и x = 2006:

f(2007) = f(2007 - 4) = f(2003)

f(2006) = f(2006 - 4) = f(2002)

Теперь найдем значение функции f(x) в точке x = -1:

f(-1) = f(-1 + 4) = f(3)

Теперь мы можем подставить найденные значения в выражение f(2007) * f(2006) - f(-1) и вычислить его:

f(2007) * f(2006) - f(-1) = f(2003) * f(2002) - f(3)

Таким образом, мы можем найти значение выражения, используя значения функции f(x) в соответствующих точках.