Question

Привет всем!помогите пожалуйста исследовать функцию на монотонность у=-12х^2-8x^3

Answer 1

Берем производную она равна -24х -24=24(-х-1)
ф-я возрастает монотонно там, где производная больше 0.
-x-1>0   x+1<0    x<-1   
убывает -x-1<0     x+1 >0   x>-1

Answer 2

Конечно, чтобы исследовать функцию \( y = -12x^2 - 8x^3 \) на монотонность, мы должны проанализировать её производные и затем определить знаки производных на различных интервалах.

Шаг 1: Найдем первую производную функции \( y \) по \( x \). \[ y = -12x^2 - 8x^3 \]

Используем правила дифференцирования: \[ \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{d}}{{dx}}(-12x^2 - 8x^3) \] \[ \frac{{dy}}{{dx}} = -24x - 24x^2 \]

Шаг 2: Найдем точки экстремума, где производная равна нулю. \[ -24x - 24x^2 = 0 \] \[ -24x(1 + x) = 0 \]

Отсюда получаем два корня: \( x = 0 \) и \( x = -1 \).

Шаг 3: Определим знаки производной на интервалах между и за пределами корней (-бесконечность, -1), (-1, 0), и (0, +бесконечность).

Теперь построим таблицу знаков для производной \( \frac{{dy}}{{dx}} = -24x - 24x^2 \):

\[ \begin{array}{|c|c|} \hline \text{Интервал} & \frac{{dy}}{{dx}} \\ \hline (-\infty, -1) & + \\ \hline (-1, 0) & - \\ \hline (0, +\infty) & + \\ \hline \end{array} \]

Теперь мы можем сделать выводы:

1. На интервале (-бесконечность, -1) производная положительна, что означает, что функция \( y \) возрастает. 2. На интервале (-1, 0) производная отрицательна, что означает, что функция \( y \) убывает. 3. На интервале (0, +бесконечность) производная снова положительна, что означает, что функция \( y \) снова возрастает.

Итак, исходная функция \( y = -12x^2 - 8x^3 \) убывает на интервале (-1, 0) и возрастает на интервалах (-бесконечность, -1) и (0, +бесконечность).