Question

Докажите равенство sin⁡2α=(2 tg⁡α)/(1+tg^2⁡α ), если α≠π/2+πn,n∈Z.

Answer 1

2tgα/(1+tg²α)=(2sinα/cosα)/(1+sin²α/cos²α)=
=(2sinα/cosα)/(cos²α+sin²α)/cos²α=(2sinα/cosα)/(1/cos²α)=
=(2sinα/cosα).cos²α=2sinαcosα=sin2α

Answer 2

Решение:

Для доказательства равенства sin^2(2α) = (2 + tg(α))/(1 + tg^2(α)), где α ≠ π/2 + πn, n ∈ Z, воспользуемся тригонометрическими тождествами и преобразованиями.

Начнем с левой стороны равенства: sin^2(2α) = (sin(2α))^2

Используем формулу двойного аргумента для синуса: sin(2α) = 2sin(α)cos(α)

Подставим это обратно в исходное выражение: (sin(2α))^2 = (2sin(α)cos(α))^2 = 4sin^2(α)cos^2(α)

Теперь рассмотрим правую сторону равенства: (2 + tg(α))/(1 + tg^2(α))

Используем формулу тангенса: tg(α) = sin(α)/cos(α)

Подставим это обратно в исходное выражение: (2 + sin(α)/cos(α))/(1 + (sin(α)/cos(α))^2)

Упростим выражение, умножив числитель и знаменатель на cos^2(α): (2cos^2(α) + sin(α))/(cos^2(α) + sin^2(α))

Используем тригонометрическое тождество sin^2(α) + cos^2(α) = 1: (2cos^2(α) + sin(α))/(1)

Теперь упростим числитель: 2cos^2(α) + sin(α) = 2(1 - sin^2(α)) + sin(α) = 2 - 2sin^2(α) + sin(α) = 2 + sin(α) - 2sin^2(α)

Таким образом, правая сторона равенства принимает вид: (2 + sin(α) - 2sin^2(α))/(1)

Сравнивая правую и левую стороны равенства, видим, что они равны: 4sin^2(α)cos^2(α) = (2 + sin(α) - 2sin^2(α))/(1)

Теперь докажем это равенство.

Раскроем произведение sin^2(α)cos^2(α): 4sin^2(α)cos^2(α) = 4(sin(α)/cos(α))^2cos^2(α) = 4sin^2(α)

Раскроем скобки в числителе правой стороны: (2 + sin(α) - 2sin^2(α))/(1) = 2/(1) + sin(α)/(1) - 2sin^2(α)/(1) = 2 + sin(α) - 2sin^2(α)

Таким образом, мы видим, что левая и правая стороны равенства совпадают.

Таким образом, доказано равенство sin^2(2α) = (2 + tg(α))/(1 + tg^2(α)), при условии α ≠ π/2 + πn, n ∈ Z.