Question

Для треугольника с вершинами a ,b ,c найти: a)уравнение стороны ВС; б) длину высоты AD; с) уравнение высоты СН. A(2,5) B(-3,4) C(-4,-2)

Answer 1

РЕШЕНИЕ
а) Уравнение стороны ВС - y = k*x+b.
k = (By-Cy)/(Bx-Cx) = 6 - наклон,  b = Вy - k*Bx =  4 - 6*(-3) = 22 - сдвиг.
Окончательно:   
Y = 6x + 22  или  
ур.1) Y - 6*X = 22 ОТВЕТ
б) Длина высоты AD. 
Коэффициент наклона и обратен и противоположен коэффициенты прямой ВС.
k1 = - 1/k = - 1/6 - наклон, b1 = Ay - k1*Ax = 5 - (-1/6)*2 = 5 1/3 - сдвиг
Уравнение высоты AD.
Y = -1/6*x + 5 1/3 - каноническая форма.
ур.2)  X  +6*Y = 32 - параметрическая форма 
Находим координаты точки D (пересечение AD и ВС)
Решаем систему уравнений 1) и 2)
Координата точки D(-2 5/7; 5 7/9)  
Длина высоты AD - по теореме Пифагора.
L² = (4.714)² + (0.777)² = 22.83,  L ≈ 4.778 - длина высоты.
с) Уравнение высоты СН
Y=  6 3/49*x + 22 1/4 - ОТВЕТ
Рисунок к задаче - http://prntscr.com/ho7rus

Answer 2

a) Чтобы найти уравнение стороны ВС, мы должны выразить координаты точек B и C через координаты точек A и C.

Из координат точек A и B мы можем найти вектор AB:

AB = (xB - xA, yB - yA) = (-3 - 2, 4 - 5) = (-5, -1)

Точка С дана нам в координатах (-4, -2), поэтому вектор AC:

AC = (xC - xA, yC - yA) = (-4 - 2, -2 - 5) = (-6, -7)

Уравнение стороны ВС будет иметь вид:

BC: (-5, -1) = (a, b) * (-6, -7)

Раскрывая произведение скаляра на вектор, мы получим:

-5 = -6a -1 = -7b

Отсюда можно выразить a:

a = -5/(-6) = 5/6

И b:

b = -1/(-7) = 1/7

Таким образом, уравнение стороны ВС будет иметь вид:

BC: x = 5/6y

б) Длина высоты ad:

Высота проходит через вершину A и перпендикулярна стороне ВС. Чтобы найти длину высоты, нам нужно найти расстояние между вершиной A и прямой ВС.

Пусть точка M(x, y) - произвольная точка на прямой BC.

Тогда вектор AM будет иметь вид:

AM = (x - xA, y - yA)

Выразим его через вектор AC:

AM = AC + CM

CM - этот вектор параллелен вектору BC и перпендикулярен вектору AC, поэтому он будет иметь вид:

CM = k * AC, где k - скаляр

k можно найти, произведя вектор AC на единичный вектор, перпендикулярный AC. Такой вектор можно получить, поменяв местами координаты вектора AC (т.е. (7, -6)) и умножив одну из них на -1.

Таким образом, единичный вектор, перпендикулярный AC, будет: (-6/√85, -7/√85)

Умножим его на вектор AC:

CM = (7, -6) * (-6/√85, -7/√85) = (-42/√85, 42/√85)

Теперь мы можем выразить вектор AM через векторы AC и CM:

AM = AC + CM = (-6, -7) + (-42/√85, 42/√85) = (-6 - 42/√85, -7 + 42/√85)

Чтобы выразить расстояние между точками A и M через вектор AM, мы должны найти длину этого вектора.

Длина вектора AM будет равна:

|AM| = √[(x - xA)^2 + (y - yA)^2]

Подставим значения координат точек A и M:

|AM| = √[(-6 - 42/√85 - 2.5)^2 + (-7 + 42/√85 - 5)^2] = √[(21.5)^2 + (-16)^2]

|AM| = √[462.25 + 256] = √718.25

таким образом, длина высоты ad равна √718.25

с) Уравнение высоты СН:

Высота проходит через вершину C и перпендикулярна стороне AB. Чтобы найти уравнение высоты, нам нужно найти уравнение прямой, проходящей через точку C и перпендикулярной стороне AB.

Найдем вектор, перпендикулярный AB, свопоставив их координаты и умножив одну из них на -1:

(-1, 5)

Тогда уравнение прямой через точку C с направляющим вектором (-1, 5) будет иметь вид:

y - yC = k(x - xC)

Подставим значения соответствующих координат:

y - (-2) = k(x - (-4))

y + 2 = k(x + 4)

Таким образом, уравнение высоты СН будет иметь вид:

y = kx + 6

где k - это коэффициент, который может быть определен после подсчета уравнения стороны ВС.