Question

Найти объем тела ограниченного поверхностями x+y=4 x=3 y=1 x=0 y=0 z=0 z=2.

Answer 1

Смотреть во вложении

Answer 2

Для того чтобы найти объем тела, ограниченного указанными поверхностями, можно воспользоваться методом тройного интеграла. Первым шагом определим границы интегрирования для переменных \(x\), \(y\), и \(z\).

У нас есть следующие поверхности: 1. \(x + y = 4\) 2. \(x = 3\) 3. \(y = 1\) 4. \(x = 0\) 5. \(y = 0\) 6. \(z = 0\) 7. \(z = 2\)

Из уравнения \(x + y = 4\) следует, что \(y = 4 - x\). Таким образом, границы для \(x\) будут от 0 до 3, а для \(y\) от 0 до \(4 - x\).

Границы для \(z\) задаются уровнями \(z = 0\) и \(z = 2\).

Теперь мы готовы записать интеграл для объема тела:

\[ V = \int_{0}^{3} \int_{0}^{4-x} \int_{0}^{2} dz \, dy \, dx \]

Выполняя вычисления, получаем:

\[ V = \int_{0}^{3} \int_{0}^{4-x} [2z]_{0}^{2} \, dy \, dx \]

\[ V = \int_{0}^{3} \int_{0}^{4-x} 2 \, dy \, dx \]

\[ V = \int_{0}^{3} [2y]_{0}^{4-x} \, dx \]

\[ V = \int_{0}^{3} 2(4-x) \, dx \]

\[ V = 2 \int_{0}^{3} (4-x) \, dx \]

\[ V = 2 \left[ 4x - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{3} \]

\[ V = 2 \left[ (4 \cdot 3 - \frac{3^2}{2}) - (4 \cdot 0 - \frac{0^2}{2}) \right] \]

\[ V = 2 \left[ (12 - \frac{9}{2}) - 0 \right] \]

\[ V = 2 \left[ \frac{15}{2} \right] \]

\[ V = 15 \]

Таким образом, объем тела, ограниченного указанными поверхностями, равен 15 единиц объема.