Question

Можно ли вносить предел под корень при решении пределов lim (корень из (n^2+2n+3))/n n стремится к бесконечности

Answer 1

А зачем вам вносить предел под корень?! Под корень заносится переменная n из знаменателя как n^2:
lim (корень из (n^2+2n+3)/n^2) = lim (корень из (1+2/n+3/n^2)= {т.к. на бесконечности lim(2/n)=0 и lim(3/n^2)=0} = кореньиз (1+0+0)=1

Answer 2

Да, при решении пределов можно вносить корень под знак предела, при условии, что вычисление корня возможно для всех значений предела.

В данном случае, у нас есть предел lim ((√(n^2 + 2n + 3))/n) при n стремящемся к бесконечности.

Для начала, мы можем упростить выражение под знаком корня. Раскроем скобки внутри корня:

n^2 + 2n + 3 = n^2 + 2n + 1 + 2 = (n + 1)^2 + 2

Теперь подставим это упрощенное выражение обратно в исходный предел:

lim ((√((n + 1)^2 + 2))/n) при n стремящемся к бесконечности.

Заметим, что при n стремящемся к бесконечности, выражение (n + 1)^2 + 2 также стремится к бесконечности. Таким образом, мы можем воспользоваться свойством пределов, согласно которому lim (f + g) = lim f + lim g, если оба предела существуют:

lim ((√((n + 1)^2 + 2))/n) = lim (√((n + 1)^2 + 2))/lim n

Теперь рассмотрим каждый предел по отдельности:

lim (√((n + 1)^2 + 2)) при n стремящемся к бесконечности:

Заметим, что (√((n + 1)^2 + 2)) = (√(n^2 + 2n + 1 + 2)) = (√(n^2 + 2n + 1)) * (√(1 + 2/(n^2 + 2n + 1)))

Первый множитель, (√(n^2 + 2n + 1)), стремится к n + 1, так как при n стремящемся к бесконечности, выражение n^2 + 2n + 1 стремится к n^2. Второй множитель, (√(1 + 2/(n^2 + 2n + 1))), стремится к 1, так как 2/(n^2 + 2n + 1) стремится к 0 при n стремящемся к бесконечности. Таким образом, предел первого множителя равен n + 1, а предел второго множителя равен 1.

lim (√((n + 1)^2 + 2))/lim n = (n + 1)/n = 1 + 1/n

Итак, предел исходного выражения lim ((√(n^2 + 2n + 3))/n) при n стремящемся к бесконечности равен 1.