Question

В классе каждый ученик — либо болтун, либо молчун, причем каждый болтун дружит хотя бы с одним молчуном. Болтун молчит, если в кабинете находится нечётное число его друзей — молчунов. Докажите, что учитель может пригласить на факультатив не менее половины класса так, чтобы все присутствующие на факультативе болтуны молчали.

Answer 1

Можно так как сказано что все или болтуны или молчуны

Answer 2

Давайте рассмотрим два случая:

1) В классе нет болтунов. Тогда все ученики - молчуны. Учитель может пригласить любое нечетное количество учеников на факультатив, и все они будут молчать.

2) В классе есть болтуны. Рассмотрим такую ситуацию: учитель пригласил какое-то нечетное количество учеников на факультатив. Пусть среди них есть болтун. Так как каждый болтун дружит хотя бы с одним молчуном, то среди приглашенных на факультатив учеников будет хотя бы один молчун. Таким образом, если учитель пригласит на факультатив такое нечетное количество учеников, что среди них окажутся все болтуны, то среди них обязательно будет хотя бы один молчун.

Таким образом, в обоих случаях учитель может пригласить на факультатив нечетное количество учеников так, чтобы все присутствующие на факультативе болтуны молчали. В этом случае количество учеников на факультативе будет не менее половины от общего числа учеников в классе.