Question

Определить, сколько целочисленных решений имеет неравенство (n^2 -1)(n^2 -11)(n^2 -101)(n^2 - 1001)<0

Answer 1

Метод интервалов в помощь. Отметь все корни уравнения (n^2-1)(n^2-11)...=0 на числовой прямой x. Проставь +- на промежутках. И считай количество чисел в нужных промежутках.
между √101 и √1001 20 целых чисел, между 1 и √11 2 целых числа. получается 22 числа правее 0, и левее нуля тоже такое количество, поэтому умножаем на 2.
2(20+2)=44
Ответ:44 целочисленных решений

Answer 2

Для определения количества целочисленных решений неравенства нужно рассмотреть интервалы, на которых неравенство неравенства меняет свой знак.

Начнем с рассмотрения каждого множителя:

1) (n^2 - 1) = (n + 1)(n - 1). Заметим, что множитель равен 0 при n = -1 и n = 1. Поэтому для этого множителя неравенство изменит свой знак на интервалах (-∞, -1), (-1, 1) и (1, +∞).

2) (n^2 - 11) = (n + √11)(n - √11). Заметим, что для этого множителя нет значений n, при которых он равен 0. Значит, знак множителя не изменяется.

3) (n^2 - 101) = (n + √101)(n - √101). Также заметим, что для этого множителя нет значений n, при которых он равен 0. Значит, знак множителя не изменяется.

4) (n^2 - 1001) = (n + √1001)(n - √1001). Здесь тоже нет значений n, при которых он равен 0, поэтому знак множителя не изменяется.

Теперь соединим все множители и найдем значения n, при которых знак неравенства меняется:

(n + 1)(n - 1)(n + √11)(n - √11)(n + √101)(n - √101)(n + √1001)(n - √1001) < 0

На основе замечания, что у каждого множителя нет нулевых значений, можно утверждать, что знак неравенства будет меняться только в тех местах, где количество отрицательных множителей будет нечетным.

Теперь рассмотрим для каждого из пяти интервалов значения n, при которых количество отрицательных множителей будет нечетным:

1) Для интервала (-∞, -1) должны выполняться следующие условия: -3 < n < -2: 3 отрицательных множителя, -2 < n < -1: 2 отрицательных множителя, -1 < n < 1: 1 отрицательный множитель, 1 < n < 2: 2 отрицательных множителя, 2 < n < +∞: 3 отрицательных множителя.

2) Для интервала (-1, 1) должны выполняться следующие условия: -3 < n < -2: 1 отрицательный множитель, -2 < n < -1: 2 отрицательных множителя, -1 < n < 1: 3 отрицательных множителя, 1 < n < 2: 2 отрицательных множителя, 2 < n < +∞: 1 отрицательный множитель.

3) Для интервала (1, √11) нет значений n, для которых неравенство меняет знак.

4) Для интервала (√11, √101) также нет значений n, для которых неравенство меняет знак.

5) Для интервала (√101, +∞) нет значений n, для которых неравенство меняет знак.

Итак, получаем, что неравенство меняет знак в интервалах (-∞, -1) и (-1, 1). Значит, общее количество целочисленных решений неравенства равно количеству целых чисел в этих интервалах, то есть |(-∞, -1) ∪ (-1, 1)| = |-∞, 1| + 1 = ∞ + 1 = ∞.

Таким образом, неравенство имеет бесконечное количество целочисленных решений.