Question

24. Какая из данных функций четна? а) y=tgx+sin2x; б) y=-xsinx; в) y=3x-x²; г) y=tg*2/x+cos√2x .

Answer 1

Чётна вторая функция б),так как

$y=-xsinx\\\\y(-x)=-(-x)sin(-x)=x(-sinx)=-xsinx=y(x)$

Answer 2

Чтобы определить, является ли функция четной, нужно проверить выполнение условия: \( f(x) = f(-x) \) для всех \( x \) из области определения функции.

а) \( y = \tan(x) \cdot \sin(2x) \)

Эта функция не является четной. Поскольку угловая функция \( \tan(x) \) нечетная (т.е., \( \tan(-x) = -\tan(x) \)), умножение на нечетную функцию \( \sin(2x) \) не изменит четности. Поэтому \( f(x) \) не равно \( f(-x) \) в общем случае.

б) \( y = -x \cdot \sin(x) \)

Эта функция также не является четной. Умножение на нечетную функцию \( \sin(x) \) сохраняет нечетность.

в) \( y = 3x - x^2 \)

Эта функция является четной, потому что \( f(x) = f(-x) \) для всех \( x \). Можно убедиться в этом, заметив, что \( f(-x) = 3(-x) - (-x)^2 = -3x - x^2 \), и это равно \( f(x) \).

г) \( y = \tan\left(\frac{2}{x}\right) + \cos(\sqrt{2x}) \)

Эта функция не является четной. Аналогично случаю (а), угловая функция \( \tan\left(\frac{2}{x}\right) \) нечетная, и сложение с четной функцией \( \cos(\sqrt{2x}) \) не изменяет четности. Таким образом, в общем случае \( f(x) \neq f(-x) \).

Таким образом, из данных функций только \( y = 3x - x^2 \) является четной.