Question

Abcd - трапеция (АD||BC),угол А=углу B=90°,AB=10см,угол CAD=45°,CK-высота,АK:KD =1: найдите среднюю линию трапеции

Answer 1

Длина АВ = ВС = АК = АД = 10 см
средняя линия равна полусумме оснований

Answer 2

Давайте рассмотрим трапецию ABCD с углами A и B, равными 90°, и сторонами AB = 10 см.

Из условия известно, что угол CAD равен 45°, а AD || BC. Пусть K - точка пересечения CK и AB, и CK - высота трапеции.

Также известно, что AK : KD = 1 : x (где x - некоторое число).

Так как угол CAD = 45°, то угол CAD + угол KAD = 90°. Таким образом, угол KAD равен 45°.

Теперь мы имеем прямоугольный треугольник AKD со сторонами AD, AK и KD.

Так как AK : KD = 1 : x, то AK = AD / (1 + x) и KD = x * AK.

Также мы знаем, что AD = BC (так как AD || BC), а BC = AB + CD. Из условия AB = 10 см.

Поскольку у нас есть прямоугольный треугольник AKD, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора:

\[ AD^2 = AK^2 + KD^2 \]

Подставим значения:

\[ BC^2 = \left( \frac{AD}{1+x} \right)^2 + \left( x \cdot \frac{AD}{1+x} \right)^2 \]

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

\[ BC^2 = \frac{AD^2}{(1+x)^2} + \frac{x^2 \cdot AD^2}{(1+x)^2} \]

\[ BC^2 = \frac{AD^2 + x^2 \cdot AD^2}{(1+x)^2} \]

Теперь мы можем подставить значения AD и BC:

\[ (AB + CD)^2 = \frac{(AB + x \cdot AB)^2 + x^2 \cdot (AB + x \cdot AB)^2}{(1+x)^2} \]

\[ 10^2 = \frac{(10 + 10x)^2 + x^2 \cdot (10 + 10x)^2}{(1+x)^2} \]

Раскроем скобки и упростим уравнение. Получится квадратное уравнение относительно x, которое нужно решить.

После нахождения x можно вычислить AK и KD, а затем среднюю линию трапеции, которая равна полусумме оснований:

\[ \text{Средняя линия} = \frac{AB + CD}{2} \]