Question

15 мальчиков собрали 100 орехов.Докажите,что какие-то 2 из них собрали одинаковое количество орехов.

Answer 1

допустим что 1й собрал 1 ор 2й-2 ... 15й 15

получим 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15= 120 получается  больше чем 100, вывод минимум 2 мальчика собрали  одинаковое количество орехов.

Answer 2

Это классическая задача из комбинаторики, известная как "Задача о голубях и гнёздах" или "Принцип ящика голубого глаза". Давайте рассмотрим её более подробно.

Предположим, что каждый мальчик собрал разное количество орехов. Минимальное количество орехов, которое может собрать каждый мальчик, равно 1. Тогда первый мальчик собрал 1 орех, второй - 2, третий - 3, и так далее, пока не дойдем до последнего, 15-го мальчика, который собрал бы 15 орехов. Теперь сложим все эти количество орехов:

\[1 + 2 + 3 + \ldots + 15 = \frac{15 \cdot 16}{2} = 120.\]

Однако, у нас всего 100 орехов. Это противоречие, так как сумма орехов, собранных каждым мальчиком, превышает общее количество. Таким образом, предположение о том, что каждый мальчик собрал разное количество орехов, неверно.

Следовательно, какие-то два мальчика должны собрать одинаковое количество орехов. Это доказывается принципом Дирихле, который утверждает, что если \(n\) объектов распределены по \(m\) ящикам, и \(n > m\), то как минимум в одном из ящиков будет не менее двух объектов. В данном случае, 15 мальчиков - это ящики, а орехи - объекты. В результате как минимум два мальчика должны собрать одинаковое количество орехов.