Question

Решение системы 8x+7y+53=0 4x-5y+1=0

Answer 1

Преобразуем второе ур-е
5у=4х+1
у=0,8х+0,2. подставим это в первое ур-е
8х+7(0,8х+0,2)+53=0
8х+5,6х+1,4+53=13,6х+54,4=0
х=-54,4/13,6=-4. это подставим во второе ур-е
у=0,8*(-4)+0,2=-3

Answer 2

Чтобы решить систему линейных уравнений, представленную вами, мы можем использовать методы уравнений и матриц. Данная система имеет два уравнения:

1. \(8x + 7y + 53 = 0\) 2. \(4x - 5y + 1 = 0\)

Давайте решим эту систему шаг за шагом.

Шаг 1: Запишем систему в матричной форме

Мы можем представить систему в виде матрицы коэффициентов и вектора правой части:

\[ \begin{bmatrix} 8 & 7 \\ 4 & -5 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -53 \\ -1 \\ \end{bmatrix} \]

Шаг 2: Найдем определитель матрицы коэффициентов

\(\text{det} = (8 \cdot (-5)) - (7 \cdot 4) = -40 - 28 = -68\)

Шаг 3: Проверим, не является ли определитель равным нулю

Если определитель равен нулю (\(\text{det} = 0\)), то система может иметь бесконечное число решений или не иметь решений вообще. В этом случае система называется вырожденной.

В нашем случае \(\text{det} = -68\), и он не равен нулю, что хорошо.

Шаг 4: Найдем обратную матрицу

Обратная матрица \(A^{-1}\) для матрицы коэффициентов \(A\) выражается следующим образом:

\[A^{-1} = \frac{1}{\text{det}} \times \text{adj}(A)\]

где \(\text{adj}(A)\) - это матрица алгебраических дополнений, транспонированная по оси главной диагонали.

\[A^{-1} = \frac{1}{-68} \begin{bmatrix} -5 & -7 \\ -4 & 8 \\ \end{bmatrix} \]

Шаг 5: Найдем решение системы

Теперь мы можем найти решение, умножив обратную матрицу на вектор правой части:

\[ \begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} = A^{-1} \begin{bmatrix} -53 \\ -1 \\ \end{bmatrix} \]

Вычисляем:

\[ \begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} = \frac{1}{-68} \begin{bmatrix} -5 & -7 \\ -4 & 8 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -53 \\ -1 \\ \end{bmatrix} \]

\[ \begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} = \frac{1}{-68} \begin{bmatrix} -5(-53) + (-7)(-1) \\ -4(-53) + 8(-1) \\ \end{bmatrix} \]

\[ \begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} = \frac{1}{-68} \begin{bmatrix} -265 + 7 \\ 212 - 8 \\ \end{bmatrix} \]

\[ \begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} = \frac{1}{-68} \begin{bmatrix} -258 \\ 204 \\ \end{bmatrix} \]

\[ \begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{129}{34} \\ -\frac{51}{17} \\ \end{bmatrix} \]

Итак, решение системы:

\[x = \frac{129}{34}, \quad y = -\frac{51}{17}\]