Question

4) Доведіть нерівність...(сверху)... якщо x і y — довільні дійсні числа.​

Answer 1

Для любых х и у : $x^2\geq0,~ y^2\geq 0$, тогда применимо неравенство Коши :

$(x^2)^2+(y^2)^2\geq 2x^2y^2$

Есть другой способ решения. Переносим все в левую часть.

$x^4-2x^2y^2+y^4=(x^2-y^2)^2\geq 0$

Это неравенство выполняется для всех х и у.

Answer 2

К сожалению, в вашем вопросе неполная информация - неравенство не было предоставлено. Однако, если вы имеете в виду доказательство неравенства для произвольных действительных чисел x и y, то можно рассмотреть некоторые общие подходы.

Неравенства могут иметь разные формы и условия, которые необходимо удовлетворить, чтобы доказать их истинность. Например, для доказательства неравенства типа \(x + y \geq 2 \sqrt{xy}\), можно использовать различные методы, включая математические преобразования и свойства чисел.

Давайте рассмотрим пример с неравенством \(x + y \geq 2 \sqrt{xy}\):

1. Начнем с данного неравенства:

\[x + y \geq 2 \sqrt{xy}\]

2. Квадрат с обеих сторон:

Возводим обе части неравенства в квадрат:

\[(x + y)^2 \geq (2 \sqrt{xy})^2\]

3. Раскрываем скобки:

\[x^2 + 2xy + y^2 \geq 4xy\]

4. Упрощаем выражение:

\[x^2 - 2xy + y^2 \geq 0\]

5. Это уже является квадратным трехчленом. Мы можем записать его в виде квадрата:

\[(x - y)^2 \geq 0\]

6. Теперь поймем, почему \( (x - y)^2 \geq 0 \) для любых действительных чисел \(x\) и \(y\):

Квадрат любого числа всегда неотрицательный, так как умножение любого числа на само себя дает неотрицательный результат. Таким образом, квадрат разности любых двух действительных чисел также всегда неотрицателен.

Следовательно, \( (x - y)^2 \geq 0 \) верно для любых действительных чисел \(x\) и \(y\).

7. Это завершает доказательство. Неравенство \(x + y \geq 2 \sqrt{xy}\) истинно для всех действительных чисел \(x\) и \(y\).

Если у вас есть конкретное неравенство, которое нужно доказать, или если есть какие-то особые условия, пожалуйста, предоставьте его, и я смогу помочь с более конкретным доказательством.

Answer 3

Нерівність, яку потрібно довести, не надана в запит