Question

Помогите, пожалуйста!!! Докажите, что при любых целых а и б значение выражения аб(а^2-б^2) делится на 6.

Answer 1

Разложим число ab(a² - b²) на множители: ab(a² - b²) = ab(a - b)(a + b).
Нам нужно доказать, что это число делится на 6 <=> делится на 2 и на 3.
Докажем, что число ab(a - b)(a + b) делится на 2. Если хотя бы одно из чисел а и b четно, то все нормально. Если a и b нечетные, то разность (a - b) делится на 2 и тоже вче нормально.
Докажем, что число ab(a - b)(a + b) делится на 3. Если хотя бы одно из чисел a и b делится на 3, то все нормально. Если числа a и b не делятся на 3, но дают одинаковые остатки при делении на 3, то разность (a - b) делится на 3. Если числа a и b не делятся на 3 и дают разные остатки при делении на 3, то сумма (а + b) делится на 3.
Значит, число ab(a² - b²) = ab(a - b)(a + b) делится на 2 и на 3, значит и на 6.

Answer 2

Для доказательства того, что выражение ab(a^2 - b^2) делится на 6 при любых целых значениях a и b, мы можем использовать метод математической индукции.

Базисный шаг:

Для начала, проверим базовый случай, когда a и b равны 0. В этом случае, выражение принимает вид 0 * (0^2 - 0^2), что равно 0. Таким образом, выражение делится на 6.

Предположение индукции:

Предположим, что при некоторых целых значениях a и b, выражение ab(a^2 - b^2) делится на 6.

Индукционный шаг:

Теперь докажем, что если предположение индукции верно для некоторых целых значений a и b, то оно верно и для следующих значений.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: a и b оба четные или оба нечетные. Если a и b оба четные или оба нечетные, то каждое из чисел a, a^2 и b^2 будет делиться на 2. Таким образом, a^2 - b^2 также будет делиться на 2. Поскольку ab также делится на 2, произведение ab(a^2 - b^2) делится на 2 * 2 = 4. Значение выражения делится на 4.

Случай 2: a четное, b нечетное или a нечетное, b четное. Если a четное, а b нечетное (или наоборот), то каждое из чисел a, a^2 и b^2 будет делиться на 2. В этом случае, a^2 - b^2 будет делиться на 4, так как разница между квадратами четного и нечетного чисел всегда делится на 4. Таким образом, произведение ab(a^2 - b^2) делится на 2 * 4 = 8. Значение выражения делится на 8.

В обоих случаях, значение выражения ab(a^2 - b^2) делится на 2 и 4. Так как 2 и 4 оба делятся на 2 и 3, выражение также делится на их произведение 2 * 4 = 6.

Заключение:

Мы доказали, что при любых целых значениях a и b, выражение ab(a^2 - b^2) делится на 6.