Question

Даны вершины пирамиды А1 (1,-1,1) А2 (2,1,1) А3 (3,1,2) А4 (1,0,3) а) Записать уравнение грани пирамиды А2А3A4 и найти её расстояние от точки А1 по вариантам заданий. б) Найти проекцию точки А1 на грань А2А3A4 по вариантам заданий.

Answer 1

Уравнение A2A3A4

ax+by+cz+d=0

подставляем координаты точек 
2a+b+c+d=0
3a+b+2c+d=0
a+3c+d=0

Пусть a=1 , Тогда с= -1 d=2 b= -3

Уравнение плоскости A2A3A4
x-3y-z+2=0

нормализованное уравнение плоскости
к=√(1+9+1)=√11

1/к*x-3/к*x-1/к*z+2/k=0

подставляем координаты точки А1 в нормализованное уравнение
расстояние равно= 1/к+3/к-1/к+2/к=5/√11

Уравнение прямой проходящей через A1(1;-1;1) перпендикулярно плоскости x-3y-z+2=0 
имеет вид 
(x-1)/1=(y+1)/(-3)=(z-1)/1
Или 

x-1=t
y+1= -3t
z-1= -t
x-3y-z+2=0 

Решением этой системы при t= -5/11 будет точка проекции на плоскость A2A3A4

A5 ( 6/11 ; 4/11 ; 16/11) 

Answer 2

Запись уравнения грани пирамиды А2А3А4

Чтобы записать уравнение грани пирамиды А2А3А4, мы можем воспользоваться формулой плоскости, которая имеет вид Ax + By + Cz + D = 0, где A, B, C и D - коэффициенты плоскости.

Для нахождения коэффициентов уравнения, мы можем использовать точки А2, А3 и А4, которые лежат на плоскости грани.

Используем точку А2(2, 1, 1) и вектора, проведенные от нее к точкам А3(3, 1, 2) и А4(1, 0, 3).

Вектор AB = А3 - А2 = (3, 1, 2) - (2, 1, 1) = (1, 0, 1)

Вектор AC = А4 - А2 = (1, 0, 3) - (2, 1, 1) = (-1, -1, 2)

Теперь мы можем найти нормальный вектор плоскости грани пирамиды, используя векторное произведение векторов AB и AC.

Нормальный вектор N = AB × AC

AB × AC = (1, 0, 1) × (-1, -1, 2) = (2, -1, -1)

Теперь мы можем записать уравнение плоскости грани пирамиды, используя найденные коэффициенты.

Уравнение плоскости грани А2А3А4:

2x - y - z + D = 0

Для нахождения коэффициента D, мы можем подставить координаты точки А2(2, 1, 1) в уравнение и решить уравнение относительно D.

2(2) - 1(1) - 1(1) + D = 0

4 - 1 - 1 + D = 0

D = -2

Таким образом, уравнение грани пирам