Question

При каких параметрах а график квадратного трехчлена y=ax^2+(a-3)x+a лежит выше оси абсцисс

Answer 1

$y = a {x}^{2} + (a - 3)x + a$
как мы видим из графиков при разных значениях коэффициента а и дискриминанта D квадратного уравнения

$a {x}^{2} + (a - 3)x + a = 0$
$D = (a - 3) ^{2} - 4 {a}^{2}$

график будет над осью абсцисс при:


$\left \{ {{a > 0} \atop {D = (a - 3) ^{2} - 4 {a}^{2} < 0}} \right. \\ \left \{ {{a > 0} \atop { (a - 3- 2 {a} )(a - 3 + 2a) < 0}} \right. \\ \left \{ {{a > 0} \atop { ( - 3- {a} )(3a - 3 ) < 0}} \right. \\ \left \{ {{a > 0} \atop { ( {a} + 3 )(a - 1 ) > 0}} \right.$

решаем методом интервалом (см рисунок)

Ответ:
при а>1

Answer 2

Чтобы определить, при каких параметрах график квадратного трехчлена \(y = ax^2 + (a - 3)x + a\) лежит выше оси абсцисс, нужно рассмотреть его вершину. Вершина квадратного трехчлена \(y = ax^2 + bx + c\) находится в точке \((h, k)\), где \(h = -\frac{b}{2a}\) и \(k = f(h) = ah^2 + bh + c\).

Для данного трехчлена \(y = ax^2 + (a - 3)x + a\):

1. Находим координаты вершины: - Коэффициент \(a\) равен коэффициенту при \(x^2\). - Коэффициент \(b\) равен коэффициенту при \(x\). - Коэффициент \(c\) равен свободному члену.

В данном случае \(a = a\), \(b = (a - 3)\), \(c = a\).

2. Вычисляем \(h\) и \(k\): - \(h = -\frac{(a - 3)}{2a} = \frac{3 - a}{2a}\) - \(k = ah^2 + bh + c = a\left(\frac{3 - a}{2a}\right)^2 + (a - 3)\left(\frac{3 - a}{2a}\right) + a\)

3. Анализируем знак \(a\): - Если \(a > 0\), то вершина трехчлена направлена вверх, и график будет лежать выше оси абсцисс, если \(k > 0\). - Если \(a < 0\), то вершина трехчлена направлена вниз, и график будет лежать выше оси абсцисс, если \(k > 0\).

Итак, когда \(k > 0\), график квадратного трехчлена \(y = ax^2 + (a - 3)x + a\) будет лежать выше оси абсцисс. Важно учесть знак коэффициента \(a\) при анализе.