Question

Прямоугольник со сторонами 6 и 12 свернули двумя способами в цилиндр.найдите соотношение их объемов

Answer 1

Найдем площадь основания:
s=пR^2,радиус найдем зная длину окружности
(L=2пR),
в первом случае L1=6 и R1=6/2п=3/п ;h1=12
во втором:L2=12;R2=6/п; h2=6
V=Sh=пR^2*h
V1=п(3/п)^2*12=108/п
V2=п(6/п)^2*6=216/п
V2/V1=2
во втором случае объем в два раза больше.

Answer 2

Чтобы найти соотношение объемов цилиндров, полученных из прямоугольника, нужно знать, каким образом он был свернут.

1. Сворачивание вокруг короткой стороны (6 единиц): При сворачивании прямоугольника вокруг короткой стороны получится цилиндр высотой, равной длине длинной стороны (12 единиц) и радиусом, равным короткой стороне (6 единиц).

Объем цилиндра можно вычислить по формуле: \(V_1 = \pi r_1^2 h_1\), где \(r_1\) - радиус цилиндра, а \(h_1\) - его высота.

Для первого цилиндра: \[V_1 = \pi \cdot 6^2 \cdot 12\]

2. Сворачивание вокруг длинной стороны (12 единиц): При сворачивании вокруг длинной стороны получится цилиндр высотой, равной длине короткой стороны (6 единиц) и радиусом, равным половине длины длинной стороны (6 единиц).

Объем второго цилиндра: \[V_2 = \pi \cdot (12/2)^2 \cdot 6\]

Теперь, чтобы найти соотношение объемов \(V_1\) и \(V_2\), можно разделить одно на другое: \[ \frac{V_1}{V_2} = \frac{\pi \cdot 6^2 \cdot 12}{\pi \cdot (12/2)^2 \cdot 6} \]

Упростим это выражение: \[ \frac{V_1}{V_2} = \frac{6^2 \cdot 12}{(12/2)^2 \cdot 6} \]

\[ \frac{V_1}{V_2} = \frac{36 \cdot 12}{36 \cdot 6} \]

\[ \frac{V_1}{V_2} = \frac{12}{6} \]

\[ \frac{V_1}{V_2} = 2 \]

Таким образом, объем цилиндра, полученного сворачиванием прямоугольника вокруг короткой стороны, вдвое больше объема цилиндра, полученного сворачиванием вокруг длинной стороны.