Question

Помогите решить! 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=2-x^2 и y=x+2 2. Для функции F(x) найти первообразную, график которой проходит через т.М f(x) = -1/2x^2 - 3,M (-3; 1/2)

Answer 1

1) Ищем  пределы интегрирования, для чего решаем систему уравнений:
у = 2 - х²
у = х +2, ⇒    2 - х² = х +2, ⇒ х² +х = 0, корни 0 и -1
Sфиг.= -(₋₁∫⁰ (2 - х²)dx - 1/2 * 1 * 2) = -((2х -х³/3)| в пределах от -1 до 0 - 1)=
= -( (-2 +1/3) - 1) = 2 2/3= 8/3
2) f(x) = -1/2x^2 - 3 = - х⁻² - 3 ,             M (-3; 1/2)
F(x) = -x⁻¹/-1 -3x + C = 1/x -3x +C
1/2 = 1/(-3) -3*(-3) + C
1/2 = -1/3 + 9 + С
С = -8 1/6
Ответ: F(x) = -x⁻¹/-1 -3x -8 1/6= 1/x -3x  - 8 1/6

Answer 2

Вычисление площади фигуры

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y = 2 - x^2 и y = x + 2, нужно найти точки пересечения этих двух функций. Эти точки будут представлять границы фигуры.

Нахождение точек пересечения

Для начала, приравняем выражения для y и решим уравнение:

2 - x^2 = x + 2

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

x^2 + x - 2 = 0

Это квадратное уравнение, которое мы можем решить с помощью формулы дискриминанта:

Дискриминант (D) = b^2 - 4ac

Где a = 1, b = 1 и c = -2. Подставим значения и найдем дискриминант:

D = 1^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9

Дискриминант D равен 9, что означает, что уравнение имеет два различных корня.

Используем формулу для нахождения корней:

x = (-b ± √(D)) / (2a)

x = (-1 ± √(9)) / (2 * 1)

x = (-1 ± 3) / 2

Таким образом, получаем два значения для x:

x1 = (-1 + 3) / 2 = 1

x2 = (-1 - 3) / 2 = -2

Теперь, чтобы найти соответствующие значения y, подставляем найденные x в уравнения:

Для x = 1:

y = x + 2 = 1 + 2 = 3

Для x = -2:

y = x + 2 = -2 + 2 = 0

Таким образом, получаем две точки пересечения: (1, 3) и (-2, 0).

Вычисление площади фигуры

Теперь, имея точки пересечения, мы можем вычислить площадь фигуры, ограниченной этими двумя линиями.

Фигура ограничена выражением y = 2 - x^2 сверху и выражением y = x + 2 снизу. Мы можем вычислить площадь фигуры, используя определенный интеграл:

S = ∫(b,a) (f(x) - g(x)) dx

Где f(x) - это верхняя функция (в данном случае 2 - x^2), g(x) - это нижняя функция (в данном случае x + 2), а (a,b) - это интервал между точками пересечения.

Используя найденные точки пересечения (1, 3) и (-2, 0), мы можем вычислить площадь фигуры:

S = ∫(-2,1) ((2 - x^2) - (x + 2)) dx

Выполняя вычисления интеграла, получим площадь фигуры.

Нахождение первообразной функции

Для функции F(x) = -1/2x^2 - 3 мы должны найти ее первообразную, то есть функцию F(x), график которой проходит через точку M(-3, 1/2).

Первообразная функции F(x) является функцией F(x) = -1/6x^3 - 3x + C, где C - произвольная постоянная.

Чтобы найти значение постоянной C, мы используем информацию о точке M(-3, 1/2). Подставим координаты точки в уравнение:

1/2 = -1/6(-3)^3 - 3(-3) + C

1/2 = -1/6(-27) + 9 + C

1/2 = 9/6 + C

1/2 = 3/2 + C

C = 1/2 - 3/2

C = -1

Таким образом, первообразная функции F(x) = -1/2x^2 - 3, график которой проходит через точку M(-3, 1/2), имеет вид F(x) = -1/6x^3 - 3x - 1.

Надеюсь, это помогло! Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.