Question

Найти наибольшее и наименьшее значение функции на заданном промежутке: y=(2x-1)^2(x-2), [-1;2], Найти сумму наибольшего и наименьшего значений функции: y=x^4-2x^2-6 на отрезке [-2;2]. Буду благодарен,если напишите ход решения.

Answer 1

y=(2x-1):2(х-2) [-1;2]

y '=2≠0

y(-1)=-3:-6=0,5

y(2)=3:4= ¾

Ответ: y (min)=¾ , y (max)=0,5

 

Второе мне сложное, боюсь не правильно решить

 

Answer 2

Решение

Для начала найдем наибольшее и наименьшее значения функции y=(2x-1)^2(x-2) на заданном промежутке [-1;2].

Нахождение наибольшего значения:

1. Найдем точки, в которых функция может достигать экстремумов. Для этого возьмем производную функции и найдем ее корни:

y' = 2(2x-1)(x-2) + (2x-1)^2 = 0

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

4x^2 - 10x + 5 + 4x^2 - 4x + 1 = 0

8x^2 - 14x + 6 = 0

2. Решим полученное квадратное уравнение:

D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 * 8 * 6 = 196 - 192 = 4 x = (-b ± √D) / (2a) = (-(-14) ± √4) / (2 * 8) = (14 ± 2) / 16 x1 = 16/16 = 1 x2 = 12/16 = 3/4 Получили две точки, в которых функция может достигать экстремумов: x1 = 1 и x2 = 3/4.

3. Теперь найдем значения функции в найденных точках и на концах заданного промежутка:

y(-1) = (2*(-1)-1)^2*(-1-2) = 9*(-3) = -27 y(1) = (2*1-1)^2*(1-2) = 1*(-1) = -1 y(2) = (2*2-1)^2*(2-2) = 3^2 * 0 = 0 y(3/4) = (2*(3/4)-1)^2*(3/4-2) = (3/2-1)^2*(-5/4) = (1/2)^2*(-5/4) = 1/4 * (-5/4) = -5/16

Наименьшее значение функции: -27, достигается в точке x = -1.

Наибольшее значение функции: 0, достигается в точке x = 2.

Нахождение суммы наибольшего и наименьшего значений:

Теперь найдем сумму наибольшего и наименьшего значений функции y=x^4-2x^2-6 на отрезке [-2;2].

1. Найдем значения функции в концах заданного отрезка:

y(-2) = (-2)^4 - 2*(-2)^2 - 6 = 16 - 8 - 6 = 2 y(2) = 2^4 - 2*2^2 - 6 = 16 - 8 - 6 = 2 Наибольшее и наименьшее значения функции равны 2.

2. Найдем сумму этих значений:

2 + 2 = 4

Таким образом, сумма наибольшего и наименьшего значений функции y=x^4-2x^2-6 на отрезке [-2;2] равна 4.